如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2， (Ⅰ)求点A到平面MBC的距离；(Ⅱ)求平面ACM与平面B

题型：江西省高考真题难度：来源：

如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2，
(Ⅰ)求点A到平面MBC的距离；
(Ⅱ)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。

答案

解：(Ⅰ)取CD中点O，连OB，OM，
则OB=OM=，OB⊥CD，MO⊥CD，
又平面MCD⊥平面BCD，
则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，
MO∥平面ABC，M，O到平面ABC的距离相等．
作OH⊥BC于H，连MH，则MH⊥BC，
求得，，
设点A到平面MBC的距离为d，
由得，
即，解得。
(Ⅱ)延长AM、BO相交于E，连CE、DE，
CE是平面ACM与平面BCD的交线，
由(Ⅰ)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形，
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，
∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为θ，
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°，
，，
则所求二面角的正弦值为。