(1)证明(i)∵C1B1∥A1D1,C1B1⊄平面ADD1A1,∴C1B1∥平面ADD1A1, 又C1B1⊂平面B1C1EF,平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF, ∴C1B1∥EF,∴EF∥A1D1; (ii)∵BB1⊥平面A1B1C1D1,∴BB1⊥B1C1, 又∵B1C1⊥B1A1, ∴B1C1⊥平面ABB1A1, ∴B1C1⊥BA1, 在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,tan∠A1B1F=tan∠AA1B=,即∠A1B1F=∠AA1B,故BA1⊥B1F. 所以BA1⊥平面B1C1EF; (2)设BA1与B1F交点为H, 连接C1H,由(1)知BA1⊥平面B1C1EF,所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角. 在矩形AA1B1B中,AB=,AA1=2,得BH=, 在RT△BHC1中,BC1=2,sin∠BC1H==, 所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是. |