(1)以DA为x轴,以DC为y轴,以DD1为z轴,建立空间直角坐标系, ∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别是A1A,B1B的中点, ∴D1(0,0,2),N(2,2,1),A(2,0,0),D(0,0,0) ∴=(2,2,-1), 设直线D1N与平面A1ABB1所成角为θ, ∵平面A1ABB1的一个法向量=(2,0,0), ∴sinθ=|cos<,>|=||=, ∴直线D1N与平面A1ABB1所成角的大小为arcsin. (2)∵C(0,2,0),M(2,0,1), ∴=(2,-2,1), 设直线CM与D1N所成角的为α, ∵=(2,2,-1), ∴cosθ=|cos<,>|=||=, ∴sinθ==. 直线CM与D1N所成角的正弦值为. (3)∵M(2,0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2),N(2,2,1), ∴=(2,0,-1),=(2,2,-2),=(2,2,-1), 设平面D1MB的法向量=(x,y,z), 则•=0,•=0, ∴,∴=(1,1,2), ∴点N到平面D1MB的距离d===.
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