已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边形是一个面积为8的正方形(记为Q)。(1)求椭圆C的方程;(2)设点P是椭圆C的左准
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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边形是一个面积为8的正方形(记为Q)。(1)求椭圆C的方程;(2)设点P是椭圆C的左准
题型:陕西省模拟题
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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边形是一个面积为8的正方形(记为Q)。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点,过点P的直线l与椭圆C相交于M,N两点,当线段MN的中点落在正方形Q内(包括边界)时,求直线l的斜率的取值范围。
答案
解:(1)依题意,设椭圆C的方程为
焦距为2c,由题设条件知
,
所以
故椭圆C的方程式为
。
(2)椭圆C的左准线方程为
,
所以点P的坐标
,
显然直线l的斜率k存在,
所以直线l的方程为
,
如图,设点M,N的坐标分别为
,
线段MN的中点G
由
得
①
由
解得
, ②
因为
是方程①的两根,
所以
于是
=
因为
≤0
所以点G不可能在y轴的右边
直线
,
方程分别为
所以点G在正方形Q内(包括边界)的充要条件为
即
,
亦即
解得
,此时②也成立;
故直线l斜率的取值范围是[
,
)。
举一反三
如图,已知点D(0,-2),过点D作抛物线C
1
:x
2
=2py (p ∈[1 ,4] )的切线l ,切点A在第二象限。
(1)求切点A的纵坐标;
(2)若离心率为
的椭圆
恰好经过A点,设切线l交椭圆的另一点为B,若设切线l,直线OA,OB的斜率为k,k
1
,k
2
,
①试用斜率k表示k
1
+k
2
;
②当k
1
+k
2
取得最大值时求此时椭圆的方程。
题型:湖北省模拟题
难度:
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3
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A.
B.
C.
D.
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[ ]
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C.[0°,30°]∪
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,则该直线的倾斜角
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