如图,椭圆C:的右顶点是A,上、下两个顶点分别为B,D,四边形OAMB是矩形(O为坐标原点),点E,P分别是线段OA,AM的中点,(Ⅰ)求证:直线DE与直线BP
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如图,椭圆C:的右顶点是A,上、下两个顶点分别为B,D,四边形OAMB是矩形(O为坐标原点),点E,P分别是线段OA,AM的中点,(Ⅰ)求证:直线DE与直线BP
题型:江苏模拟题
难度:
来源:
如图,椭圆C:
的右顶点是A,上、下两个顶点分别为B,D,四边形OAMB是矩形(O为坐标原点),点E,P分别是线段OA,AM的中点,
(Ⅰ)求证:直线DE与直线BP的交点在椭圆C上;
(Ⅱ)过点B的直线l
1
,l
2
与椭圆C分别交于点R,S(不同于B),且它们的斜率k
1
,k
2
满足k
1
k
2
=
,求证:直线RS过定点,并求出此定点的坐标。
答案
解:(Ⅰ)由题意,得A(4,0),B(0,2),D(0,-2),E(2,0),P(4,1),
所以直线DE的方程为y=x-2,
直线BP的方程为
,
解方程组
得
,
所以直线DE与直线BP的交点坐标为
,
因为
,
所以点
在椭圆
上,
即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上。
(Ⅱ)直线BR的方程为y=k
1
x+2,
解方程组
得
,
所以点R的坐标为
,
因为
,
所以直线BS的斜率
,直线BS的方程为
,
解方程组
,
所以点S的坐标为
,
所以R,S关于坐标原点O对称,
故R,O,S三点共线,即直线RS过定点O。
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