(1)本题适合利用空间向量求解.要知道线面角的向量求法. (2)利用向量的方法在线段AC上的一点E,就要用到向量共线的条件,表示出E的坐标,然后根据二面角的余弦值,确定E坐标中的参数的值,进而可求出AE的长. 解:(1)如图,以B1为原点建立空间直角坐标系B1-XYZ
则B1(0,0,0),C(0,2,2),A1(2,0,0),B(0,0,2),则M(1,0,2), A(2,0,2),(0,2,2) ,N(1,1,1)------------2分 =(0,2,2),(0,1,-1),=(2,0,0) 因为 ,且,--------4分 所以MN⊥平面A1B1C 即MN与平面A1B1C所成的角为900 ------------------5分 (2)设E(x,y,z),且=, --------------6分 则(x-2,y,z-2)=(-2,2,0) 解得x=2-2,y=2,z=2,=(2-2,2,2) ---------7分 由(1)可知平面的法向量为(0,1,-1),设平面的法向量为, 则, 则可解得, ----------------9分 于是-------11分 由于点E在线段上,所以=,此时AE= ----------12分 |