已知圆C:,直线L:.(1)求证:对直线L与圆C总有两个不同交点;(2)设L与圆C交于不同两点A、B,求弦AB的中点M的轨迹方程;(3)若定点P(1,1)分弦A

已知圆C:,直线L:.(1)求证:对直线L与圆C总有两个不同交点;(2)设L与圆C交于不同两点A、B,求弦AB的中点M的轨迹方程;(3)若定点P(1,1)分弦A

题型:不详难度:来源:
已知圆C:,直线L:.
(1)求证:对直线L与圆C总有两个不同交点;
(2)设L与圆C交于不同两点A、B,求弦AB的中点M的轨迹方程;
(3)若定点P(1,1)分弦AB所得向量满足,求此时直线L的方程.
答案
(1)详见解析;(2);(3)直线方程为.
解析

试题分析:(1)由直线L的方程可知,直线L恒过定点(1,1),而这个点在圆内,所以直线L与圆C总有两个不同的交点;(2)设M(x,y).当M不与P重合时,连接CM、CP,由于P是AB的中点,所以CMMP,用勾股定理便可得所求方程(或用向量的数量积等于0也可).(3)设A(),B()由可得.将直线与圆的方程联立得.由韦达定理得,再将此与联立得,代入方程,从而得直线的方程.
试题解析:(1)直线恒过定点(1,1),且这个点在圆内,故直线L与圆C总有两个不同的交点.
(2)当M不与P重合时,连接CM、CP,则CMMP,设M(x,y)

化简得:
当M与P重合时,满足上式.
(3)设A(),B()由.
将直线与圆的方程联立得:       ..(*)

可得,代入(*)得
直线方程为.
举一反三
若实数x,y满足:,则的最小值是.
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若实数x,y满足:,则的最小值是(   )
A.2B.3C.5D.8

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如图所示,直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点,,若,则AB=        .

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在平面直角坐标系中,直线为参数)与圆为参数)相切,切点在第一象限,则实数的值为.
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直线与圆的位置关系是
A.相交B.相切C.相离D.与值有关

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