如图6,已知动圆M过定点F(1,0)且与x轴相切,点F 关于圆心M 的对称点为 F",动点F’的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)设是曲线C上的一个定点,过

如图6,已知动圆M过定点F(1,0)且与x轴相切,点F 关于圆心M 的对称点为 F",动点F’的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)设是曲线C上的一个定点,过

题型:不详难度:来源:
如图6,已知动圆M过定点F(1,0)且与x轴相切,点F 关于圆心M 的对称点为 F",动点F’的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设是曲线C上的一个定点,过点A任意作两条倾斜角互补的直线,分别与曲线C相交于另外两点P 、Q.
①证明:直线PQ的斜率为定值;
②记曲线C位于P 、Q两点之间的那一段为l.若点B在l上,且点B到直线PQ的
距离最大,求点B的坐标.
答案
(1);(2)见解析.
解析
第一问中利用直线育园的位置关系可知得到曲线C的轨迹方程
第二问中,(法1)由题意,直线AP的斜率存在且不为零,如图6-2.
设直线AP的斜率为k(),则直线AQ的斜率为-k. ………………6分
因为是曲线C:上的点,
所以,直线AP的方程为
联立,
解之得
所以点P的坐标为(,),
以-k替换k,得点Q的坐标为(,)
所以直线PQ的斜率为定值
再就是由①可知,,,
,所以直线QP的方程为,
整理得得到B的坐标。
解:(1)(法1)设,因为点在圆M上,
且点F关于圆心M的对称点为F’,
所以,              …………1分
且圆M的直径为.…………2分
由题意,动圆M与y轴相切,
所以,两边平方整理得:
所以曲线C的方程为.            ………………………………5分
(法2)因为动圆M过定点且与x轴相切,所以动圆M在x轴上方,
连结FF’,因为点F关于圆心M的对称点为F’,所以FF’为圆M的直径.
过点M作轴,垂足为N,过点F’作轴,垂足为E(如图6-1).
在直角梯形EOFF’中,
即动点F’到定点的距离比到轴的距离大1.……………………………3分
又动点F’于轴的上方(包括轴上),
所以动点F’到定点的距离与到定直线y=-1的距离相等.
故动点F’的轨迹是以点为焦点,以直线y=1为准线的抛物线.
所以曲线C的方程为.            ……………………………5分

(2)①(法1)由题意,直线AP的斜率存在且不为零,如图6-2.
设直线AP的斜率为k(),则直线AQ的斜率为-k. ………………6分
因为是曲线C:上的点,
所以,直线AP的方程为
联立,
解之得
所以点P的坐标为(,),
以-k替换k,得点Q的坐标为(,),.      ………………8分
所以直线PQ的斜率为定值.………………10分
(法2)因为是曲线C:上的点,所以
又点P、Q在曲线C:上,所以可设,    …6分
而直线AP,AQ的倾斜角互补,
所以它们的斜率互为相反数,即,整理得.8分
所以直线pq的斜率为定值.  ………10分
②(法1)由①可知,
,所以直线QP的方程为,
整理得.                  …………11分
设点在曲线段l上,因为P、Q两点的横坐标分别为
所以B点的横坐标X在之间,
所以,从而
点B到直线QP的距离d=.………12分
时,d的最大值为
注意到,所以点在曲线段L上.
所以,点B的坐标是.…………………………………………14分

(法2)由①可知,,结合图6-3可知,
若点B在曲线段L上,且点B到直线PQ的距离最大,
则曲线C在点B处的切线L//QP.  ………………11分
设L:,由方程组
与,联立可得
消去y,得
令△=0,整理,得.……12分
代入方程组,解得
所以,点B的坐标是.……………………………………………14分
(法3)因为抛物线C:关于y轴对称,
由图6-4可知,当直线AP的倾斜角大于00且趋近于00时,直线AQ的倾斜角小于1800且趋近于1800,即当直线AP的斜率大于0且趋近于0时,直线AQ的斜率小于0且趋近于0.
从而P、Q两点趋近于点关于轴的对称点.……11分

由抛物线C的方程和①的结论,
得,
所以抛物线C以点为切点的切线L//PQ.
……………………12分
所以曲线段L上到直线QP的距离最大的点就是点A’,
即点B、点A’重合.
所以,点B的坐标是.……………14分
举一反三
以点为圆心且与直线相切的圆的方程为           
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已知圆以原点为圆心,且与圆外切.
(1)求圆的方程;
(2)求直线与圆相交所截得的弦长.
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已知圆过点,且与圆关于直线对称.
(1)求圆的方程;
(2)设为圆上一个动点,求的最小值;
(3)过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线是否平行,并说明理由.
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若直线与圆有公共点,则实数取值范围是(  )
A.B.
C.D.

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直线被圆截得的弦长为
A.B.4C.D.2

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