(15分)已知以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)
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(15分)已知以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)
题型:不详
难度:
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(15分)已知以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与
轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N,若OM = ON,求t的值并求出圆C的方程.
答案
(1)
,
.
设圆
的方程是
令
,得
;令
,得
,即:
的面积为定值.------6分
(2)
垂直平分线段
.
,
直线
的方程是
.
,解得:
-----------------9分
当
时,圆心
的坐标为
,
,
此时
到直线
的距离
,
圆
与直线
相交于两点。------------------12分. ----
当
时,圆心
的坐标为
,
,
此时
到直线
的距离
圆
与直线
不相交,
不符合题意舍去. ------------------14分
圆
的方程为
.------------15分
解析
(1)求出半径,写出圆的方程,再解出A、B的坐标,表示出面积即可.
(2)通过题意解出OC的方程,解出t 的值,直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,判断t是否符合要求,可得圆的方程.
解:(1)∵圆C过原点O,
∴OC
2
=t
2
+
,
设圆C的方程是(x-t)
2
+(y-
)
2
=t
2
+
,
令x=0,得y
1
=0,y
2
=
,
令y=0,得x
1
=0,x
2
=2t
∴S
△OAB
=
OA×OB=
×|
|×|2t|=4,
即:△OAB的面积为定值;
(2)∵OM=ON,CM=CN,
∴OC垂直平分线段MN,
∵k
MN
=-2,∴k
oc
=
,
∴直线OC的方程是y=
x,
∴
=
t,解得:t=2或t=-2,
当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=
此时C到直线y=-2x+4的距离d=
<
,
圆C与直线y=-2x+4相交于两点,
当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=
此时C到直线y=-2x+4的距离d=
>
,
圆C与直线y=-2x+4不相交,
∴t=-2不符合题意舍去,
∴圆C的方程为(x-2)
2
+(y-1)
2
=5.
举一反三
已知圆面
的面积为
,平面区域
与圆面
的公共区域的面积大于
,则实数
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
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若直线3x+4y-12=0与x轴交点A,与y轴交于点B,O是坐标原点,那么△OAB内切于圆的方程是( )
A.x
2
+y
2
+2x+2y+1="0"
B.x
2
+y
2
-2x+2y+1="0"
C.x
2
+y
2
-2x-2y+1="0"
D.x
2
+y
2
-2x-2y-1=0
题型:不详
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(12分)
已知定点
,B是圆
(C为圆心)上的动点,AB的垂直平分线与BC交于点E.
(1)求动点E的轨迹方程;
(2)设直线
与E的轨迹交于P,Q两点,且以PQ为对角线的菱形的一顶点为(-1,0),求:
OPQ面积的最大值及此时直线
的方程.
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在圆
内,过点
有
n
条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项
,最长弦长为
,若公差
,那么
n
的取值集合为 ( )
A.
B.
C.
D.
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过点
的直线
将圆
分成两段弧,当其中的优弧最长时,
直线
的方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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