如图所示,已知圆O:x2+y2=4,直线m:kx-y+1=0.(1)求证:直线m与圆O有两个相异交点;(2)设直线m与圆O的两个交点为A、B,求△AOB面积S的
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如图所示,已知圆O:x2+y2=4,直线m:kx-y+1=0.(1)求证:直线m与圆O有两个相异交点;(2)设直线m与圆O的两个交点为A、B,求△AOB面积S的
题型:不详
难度:
来源:
如图所示,已知圆O:x
2
+y
2
=4,直线m:kx-y+1=0.
(1)求证:直线m与圆O有两个相异交点;
(2)设直线m与圆O的两个交点为A、B,求△AOB面积S的最大值.
答案
解析 (1)证明 直线m:kx-y+1=0可化为y-1=kx,
故该直线恒过点(0,1),而(0,1)在圆O:x
2
+y
2
=4内部,
所以直线m与圆O恒有两个不同交点.
(2)圆心O到直线m的距离为 d=
1
1+k2
,而圆O的半径r=2,
故弦AB的长为|AB|=2
r2-d2
=2
4-d2
,
故△AOB面积S=
1
2
|AB|×d=
1
2
×2
4-d2
×d=
4d2-d4
=
-(d2-2)2+4
.
而d
2
=
1
1+k2
,因为1+k
2
≥1,所以d
2
=
1
1+k2
∈(0,1],
显然当d
2
∈(0,1]时,S单调递增,所以当d
2
=1,即k=0时,S取得最大值
3
,
此时直线m的方程为y-1=0.
举一反三
已知动直线l平分圆C:(x-2)
2
+(y-1)
2
=1,则直线l与圆:
x=3cosθ
y=3sinθ
(θ为参数)的位置关系是______.
题型:朝阳区一模
难度:
|
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一个圆的圆心在直线x-y-1=0上,与直线4x+3y+14=0相切,在3x+4y+10=0上截得弦长为6,求圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知点P(x,y)在圆(x-2)
2
+y
2
=1上运动,则代数式
y
x
的最大值是______.
题型:不详
难度:
|
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过点P(2,1)且被圆C:x
2
+y
2
-2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是( )
A.3x-y-5=0
B.3x+y-7=0
C.x-3y+5=0
D.x+3y-5=0
题型:不详
难度:
|
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直线x-y=0与圆x
2
+y
2
-2x-2y-3=0的位置关系是( )
A.相切
B.相离
C.直线与圆相交且直线过圆心
D.直线与圆相交但不过圆心
题型:不详
难度:
|
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