已知直线l:(m+2)x+(2m-3)y+(7-14m)=0与圆C:x2+y2-6x-8y+21=0(1)求证:对于任意实数m,l与圆C恒有两个交点A,B(2)

已知直线l:(m+2)x+(2m-3)y+(7-14m)=0与圆C:x2+y2-6x-8y+21=0(1)求证:对于任意实数m,l与圆C恒有两个交点A,B(2)

题型:不详难度:来源:
已知直线l:(m+2)x+(2m-3)y+(7-14m)=0与圆C:x2+y2-6x-8y+21=0
(1)求证:对于任意实数m,l与圆C恒有两个交点A,B
(2)当AB最小时,求l的方程.
答案
(1)直线系l:(m+2)x+(2m-3)y+(7-14m)=0,可以化成(2x-3y+7)+m(x+2y-14)=0,
∵方程组2x-3y+7=0;x+2y-14=0有解x=4;y=5,
∴l中的每一条都经过点M(4,5),
圆C:(x-3)2+(y-4)2=4的圆心是N(3,4),半径是r=2,
∵|MN|2=(4-3)2+(5-4)2=2<4=r2
∴点M在圆C内,
则过M的每一条直线都与圆相交,并且交于不同的两点A,B;
(2)过圆内一点的所有弦中,以直径为最长,以垂直于直径的弦长最小,
此时kMC=
5-4
4-3
=1,∴kAB=-1,
∴直线l方程为y-5=-(x-4),即x+y-9=0,
则|AB|最小时,直线方程是x+y-9=0.
举一反三
已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0.
(Ⅰ)若直线l过点P且与圆心C的距离为1,求直线l的方程;
(Ⅱ)设过P直线l1与圆C交于M、N两点,当|MN|=4时,求以MN为直径的圆的方程;
(Ⅲ)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
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若直线ax-by+c=0(a>0,b>0,c>0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为a,b,c的三角形(  )
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A.是锐角三角形B.是直角三角形
C.是钝角三角形D.不存在
直线y=x+b平分圆x2+y2-8x+2y+8=的周长,则b=(  )
题型:天河区一模难度:| 查看答案
A.3B.5C.-3D.-5
直线x+y+1=0与圆(x-1)2+y2=2的位置关系是(  )
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A.相切B.相交C.相离D.不能确定
已知直线l:





x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
(t为参数)与曲线C的极坐标方程:ρ=


2
cos(θ+
π
4
)

(1)求直线l与曲线C的直角坐标方程(极点与坐标原点重合,极轴与x轴重合)
(2)求直线l被曲线C截得的弦长.