(理)设斜率为k1的直线L交椭圆C:x22+y2=1于A、B两点,点M为弦AB的中点,直线OM的斜率为k2(其中O为坐标原点,假设k1、k2都存在).(1)求k

(理)设斜率为k1的直线L交椭圆C:x22+y2=1于A、B两点,点M为弦AB的中点,直线OM的斜率为k2(其中O为坐标原点,假设k1、k2都存在).(1)求k

题型:杨浦区二模难度:来源:
(理)设斜率为k1的直线L交椭圆C:
x2
2
+y2=1
于A、B两点,点M为弦AB的中点,直线OM的斜率为k2(其中O为坐标原点,假设k1、k2都存在).
(1)求k1⋅k2的值.
(2)把上述椭圆C一般化为
x2
a2
+
y2
b2
=1

(a>b>0),其它条件不变,试猜想k1与k2关系(不需要证明).请你给出在双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)中相类似的结论,并证明你的结论.
(3)分析(2)中的探究结果,并作出进一步概括,使上述结果都是你所概括命题的特例.
如果概括后的命题中的直线L过原点,P为概括后命题中曲线上一动点,借助直线L及动点P,请你提出一个有意义的数学问题,并予以解决.
答案
(解一):(1)设直线方程为y=k1x+b,代入椭圆方程并整理得:(1+2k12)x2+4k1bx+2b2-2=0,(2分)
x1+x2=-
4k1b
1+2k2
,又中点M在直线上,所以
y1+y2
2
=k1
x1+x2
2
)+b

从而可得弦中点M的坐标为(-
2bk1
1+2k12
2b
1+2k12
)
k2=-
1
2k1
,所以k1k2=-
1
2
.(4分)
(解二)设点A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0) 则x0=
x1+x2
2
y0=
y1+y2
2

K2=
y0
x0
=
y1+y2
x1+x2
k1=
y2-y1
x2-x1
   (2分)
1
2
x12+y12=1
1
2
x22+y22=1
作差得  -
1
2
=
(y2-y1)(y2+y1)
(x2-x1)(x2+x1)

所以 K1K2=-
1
2
            (4分)
(2)对于椭圆,K1K2=-
b2
a2
  (6分)
已知斜率为K1的直线L交双曲线
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>0,b>0)于A,B两点,点M 为弦AB的中点,直线OM的斜率为k2(其中O为坐标原点,假设K1、k2都存在).
则k1,k2⋅的值为
b2
a2
. (8分)
(解一)设直线方程为y=k1x+d,代入
x2
a2
+
y2
b2
=1
((a>0,b>0)方程并整理得:(b2-a2k12)x2-2k1a2dx-(ad)2-(ab)2=0
1
2
(y1+y2)=
db2
b2-a2k12

所以K2=
y0
x0
=
y1+y2
x1+x2
=
b2
k1a2
k1=
y2-y1
x2-x1
(2分),即k1k2=
b2
a2
     (10分)
(解二)设点A(x1,y1),B(x2,y2),中点中点M(x0,y0
x0=
x1+x2
2
y0=
y1+y2
2
K2=
y0
x0
=
y1+y2
x1+x2
k1=
y2-y1
x2-x1
(2分)
又因为点A,B在双曲线上,则
x12
a2
-
y12
b2
=1
x22
a2
-
y22
b2
=1
作差得
a2
b2
=
(y2-y1)(y2+y1)
(x2-x1)(x2+x1
=k1k2    即k1k2=
b2
a2
 (10分)
(3)对(2)的概括:设斜率为k1的直线L交二次曲线C:mx2+ny2=1(mn≠0)于A,B两点,点M为弦AB的中点,直线OM的斜率为k2(其中O为坐标原点,假设k1,k2、都存在),则k1k2=-
m
n
.(12分)
提出问题与解决问题满分分别为(3分),提出意义不大的问题不得分,解决问题的分值不得超过提出问题的分值.
提出的问题例如:直线L过原点,P为二次曲线线mx2+ny2=1(mn≠0)上一动点,设直线L交曲线于A,B两点,当P异于A,B两点时,如果直线PA,PB的斜率都存在,则它们斜率的积为与点P无关的定值.(15分)
解法1:设直线方程为y=kx,A,B两点坐标分别为(x1,y1)、(-x1,-y1),则y1=kx1
把y=kx代入mx2+ny2=1得(m+nk2)x2=1,
KPA•KPB=
(y0-y1)(y0+y1)
(x0-x1)(x0+x1)
=
y02-y12
x02-x12

所以KPA•KPB=
1-mx02
n
-
k2
m+nk2
x02-
1
m+nk2
=
m-m(m+nk2)x02
n(m+nk2)x02-n
=-
m
n
(18分)
提出的问题的例如:直线L:y=x,P为二次曲线mx2+ny2=1(mn≠0)上一动点,设直线L交曲线于A,B两点.试问使∠APB=30°的点P是否存在?(13分)
问题例如:1)直线L过原点,P为二次曲线线mx2+ny2=1(mn≠0)上一动点,设直线L交曲线于A,B两点,求PA+PB的值.
2)直线l过原点,P为二次曲线mx2+ny2=1(mn≠0)上一动点,设直线L交曲线于A,B两点,求S△PAB的最值.
举一反三
已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为5,从这个圆上任一点p向x轴作垂线PP’,垂足为P’,M为线段PP’上一点,且满足:


MP
=4


PM

(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)若过电(3,0)且斜率为1的直线交曲线C于A、B两点,求弦AB的长.
题型:不详难度:| 查看答案
中心在原点,焦点在y轴上焦距为8,且经过点(3,0)的椭圆方程为(  )
题型:不详难度:| 查看答案
A.B.C.D.
若圆x2+y2=9上的所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的4倍,则所得曲线的方程是(  )
题型:不详难度:| 查看答案
A.B.
C.D.
已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-1,0),(1,0),并且经过点(2,0),则它的标准方程是(  )
题型:不详难度:| 查看答案
题型:不详难度:| 查看答案
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A.B.C.D.
椭圆一焦点为(0,


5
),且短轴长为4


5
的椭圆标准方程是______.