已知椭圆C的中心在原点,长轴在x轴上,经过点A(0,1),离心率e=22.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线ln:y=1n+1(n∈N*)与椭圆C在第一象限内相
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已知椭圆C的中心在原点,长轴在x轴上,经过点A(0,1),离心率e=22.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线ln:y=1n+1(n∈N*)与椭圆C在第一象限内相
题型:江门一模
难度:
来源:
已知椭圆C的中心在原点,长轴在x轴上,经过点A(0,1),离心率
e=
2
2
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l
n
:
y=
1
n+1
(n∈N*)与椭圆C在第一象限内相交于点A
n
(x
n
,y
n
),记
a
n
=
1
2
x
2n
,试证明:对∀n∈N*,
a
1
•
a
2
•…•
a
n
>
1
2
.
答案
(1)依题意,设椭圆C的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),
则
1
b
2
=1
e=
c
a
=
a
2
-
b
2
a
=
2
2
,解得b=1,
a=
2
,
椭圆C的方程为
x
2
2
+
y
2
=1
.
(2)证明:
x
2
2
+
y
2
=1
y=
1
n+1
,得
x
n
2
=
2n(n+2)
(n+1)
2
,
a
n
=
1
2
x
2n
=
n(n+2)
(n+1)
2
,
所以
a
1
•
a
2
•…•
a
n
=
1×3
2
2
×
2×4
3
2
×
3×5
4
2
×…×
n(n+2)
(n+1)
2
=
1×(n+2)
2(n+1)
>
1
2
.
举一反三
(理)设斜率为k
1
的直线L交椭圆C:
x
2
2
+
y
2
=1
于A、B两点,点M为弦AB的中点,直线OM的斜率为k
2
(其中O为坐标原点,假设k
1
、k
2
都存在).
(1)求k
1
⋅k
2
的值.
(2)把上述椭圆C一般化为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),其它条件不变,试猜想k
1
与k
2
关系(不需要证明).请你给出在双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)中相类似的结论,并证明你的结论.
(3)分析(2)中的探究结果,并作出进一步概括,使上述结果都是你所概括命题的特例.
如果概括后的命题中的直线L过原点,P为概括后命题中曲线上一动点,借助直线L及动点P,请你提出一个有意义的数学问题,并予以解决.
题型:杨浦区二模
难度:
|
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MP
=4
PM
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题型:不详
难度:
|
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中心在原点,焦点在y轴上焦距为8,且经过点(3,0)的椭圆方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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若圆x
2
+y
2
=9上的所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的4倍,则所得曲线的方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-1,0),(1,0),并且经过点(2,0),则它的标准方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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