已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的离心率为53,定点M(2,0),椭圆短轴的端点是B1,B2,且MB1⊥MB2.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的离心率为53,定点M(2,0),椭圆短轴的端点是B1,B2,且MB1⊥MB2.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)
题型:西城区一模
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
的离心率为
5
3
,定点M(2,0),椭圆短轴的端点是B
1
,B
2
,且MB
1
⊥MB
2
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A,B两点.试问x轴上是否存在定点P,使PM平分∠APB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)由
5
9
=
e
2
=
a
2
-
b
2
a
2
=1-
b
2
a
2
,得
b
a
=
2
3
.…(2分)
依题意△MB
1
B
2
是等腰直角三角形,从而b=2,故a=3.…(4分)
所以椭圆C的方程是
x
2
9
+
y
2
4
=1
.…(5分)
(Ⅱ)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),直线AB的方程为x=my+2.
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立,消去x得 (4m
2
+9)y
2
+16my-20=0.…(7分)
所以
y
1
+
y
2
=
-16m
4
m
2
+9
,
y
1
y
2
=
-20
4
m
2
+9
.…(8分)
若PF平分∠APB,则直线PA,PB的倾斜角互补,所以k
PA
+k
PB
=0.…(9分)
设P(a,0),则有
y
1
x
1
-a
+
y
2
x
2
-a
=0
.
将 x
1
=my
1
+2,x
2
=my
2
+2代入上式,整理得
2m
y
1
y
2
+(2-a)(
y
1
+
y
2
)
(m
y
1
+2-a)(m
y
2
+2-a)
=0
,
所以 2my
1
y
2
+(2-a)(y
1
+y
2
)=0.…(12分)
将
y
1
+
y
2
=
-16m
4
m
2
+9
,
y
1
y
2
=
-20
4
m
2
+9
代入上式,整理得 (-2a+9)•m=0.…(13分)
由于上式对任意实数m都成立,所以
a=
9
2
.
综上,存在定点
P(
9
2
,0)
,使PM平分∠APB.…(14分)
举一反三
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的一个顶点为A (2,0),离心率为
2
2
,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N
(Ⅰ)求椭圆C的方程
(Ⅱ)当△AMN的面积为
10
3
时,求k的值.
题型:北京
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,点M(0,2)是椭圆的一个顶点,△F
1
MF
2
是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k
1
,k
2
,且k
1
+k
2
=8,证明:直线AB过定点
(-
1
2
,-2)
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C短轴的一个端点为(0,1),离心率为
2
2
3
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点,求线段AB的长.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆的中心为原点,离心率
e=
3
2
,且它的一个焦点与抛物线
x
2
=-4
3
y
的焦点重合,则此椭圆方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的离心率
e=
2
2
,一条准线方程为x=4,P为准线上一动点,以原点为圆心,椭圆的焦距|F
1
F
2
|为直径作圆O,直线PF
1
,PF
2
与圆O的另一个交点分别为M,N.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)探究直线MN是否经过一定点,若存在,求出该点坐标,若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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