已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e,且b,e,13为等比数列,曲线y=8-x2恰好过椭圆的焦点.(1)求椭圆C1的方程;(2)设双曲

已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e,且b,e,13为等比数列,曲线y=8-x2恰好过椭圆的焦点.(1)求椭圆C1的方程;(2)设双曲

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为e,且b,e,
1
3
为等比数列,曲线y=8-x2恰好过椭圆的焦点.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设双曲线C2
x2
m2
-
y2
n2
=1
的顶点和焦点分别是椭圆C1的焦点和顶点,设O为坐标原点,点A,B分别是C1和C2上的点,问是否存在A,B满足


OA
=
1
2


OB
.请说明理由.若存在,请求出直线AB的方程.
答案
(1)由y=8-x2=0可得x=±2


2

∴椭圆的焦点坐标为(±2


2
,0),即c=2


2

∵b,e,
1
3
为等比数列,
(
c
a
)2=
1
3
b

∵a2=b2+c2
a=2


3
,b=2

∴椭圆C1的方程为
x2
12
+
y2
4
=1

(2)假设存在A,B满足


OA
=
1
2


OB
,则O,A,B三点共线且A,B不在y轴上,
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx
由(1)知,C2的方程为
x2
8
-
y2
4
=1

直线与椭圆方程联立,可得(1+3k2)x2=12,即x12=
12
1+3k2

直线方程与双曲线方程联立,可得(1-2k2)x2=8,即x22=
8
1-2k2



OA
=
1
2


OB
,∴x12=
1
4
x22

12
1+3k2
=
8
1-2k2

k2=
1
3

k=±


3
3

∴存在A,B满足


OA
=
1
2


OB
,此时直线AB的方程为y=±


3
3
x
举一反三
已知函数f(x)=mx-2+


2
-1
(m>0,m≠1)的图象恒通过定点(a,b).设椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0).
(1)求椭圆E的方程.
(2)若动点T(t,0)在椭圆E长轴上移动,点T关于直线y=-x+
1
t2+1
的对称点为S(m,n),求
n
m
的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的上项点为B1,右、右焦点为F1、F2,△B1F1F2是面积为


3
的等边三角形.
(I)求椭圆C的方程;
(II)已知P(x0,y0)是以线段F1F2为直径的圆上一点,且x0>0,y0>0,求过P点与该圆相切的直线l的方程;
(III)若直线l与椭圆交于A、B两点,设△AF1F2,△BF1F2的重心分别为G、H,请问原点O在以线段GH为直径的圆内吗?若在请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
设椭圆M:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为


2
2
,长轴长为6


2
,设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A,B两点.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(2)设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C,D,求|AB|+|CD|的最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1 ( a>b>0 )
,它的一个顶点为M(0,1),离心率e=


6
3

(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为


3
2
,求△AOB面积的最大值.
题型:重庆模拟难度:| 查看答案
设直线l:y=x+1与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点F.
(Ⅰ)证明:a2+b2>1;
(Ⅱ)若F是椭圆的一个焦点,且


AF
=2


FB
,求椭圆的方程.
题型:西城区二模难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.