已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上项点为B1，右、右焦点为F1、F2，△B1F1F2是面积为3的等边三角形．（I）求椭圆C的方程；（II）已知

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已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的上项点为B₁，右、右焦点为F₁、F₂，△B₁F₁F₂是面积为

的等边三角形．
（I）求椭圆C的方程；
（II）已知P（x₀，y₀）是以线段F₁F₂为直径的圆上一点，且x₀＞0，y₀＞0，求过P点与该圆相切的直线l的方程；
（III）若直线l与椭圆交于A、B两点，设△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分别为G、H，请问原点O在以线段GH为直径的圆内吗？若在请说明理由．

答案

（I）∵

b•2c=

，a=2c，a²=b²+c²．
解得c²=1，b²=3，a²=4，
∴椭圆C的方程为：

=1
（Ⅱ）∵F₁F₂是圆的一条直径，∴圆的方程为x²+y²=1，
又P（x₀，y₀）是该圆在第一象限部分上的切线的切点，
∴kl•

=-1，解得kl=-

．
∴切线方程为y-y0=-

(x-x0)，又

=1，
化为l：x₀x+y₀y-1=0．
∴切线方程为l：x₀x+y₀y-1=0．
（III）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则G(

，

)，H(

，

)．
若原点O在以线段GH为直径的圆内，则

•

＜0，即

x1x2

y1y2

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
下面给出证明：联立

x0x+y0y-1=0

，
消去x整理为(4

)y2-6y0y+3-12

=0，
∴y1+y2=

6y0

，y1y2=

3-12

，
∴x1x2=

1-y0y1

•

1-y0y2

1-y0(y1+y2)+

y1y2

4-12

，
∴x₁x₂+y₁y₂=

7-12(

)

＜0．
∴原点O在以线段GH为直径的圆内．

举一反三

设椭圆M：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，长轴长为6

，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（2）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．

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已知椭圆方程为

=1 ( a＞b＞0 )，它的一个顶点为M（0，1），离心率e=

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为

，求△AOB面积的最大值．

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设直线l：y=x+1与椭圆

=1(a＞b＞0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．
（Ⅰ）证明：a²+b²＞1；
（Ⅱ）若F是椭圆的一个焦点，且

，求椭圆的方程．

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已知椭圆C₁：

=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为

，F₁、F₂分别为其左右焦点．一动圆过点F₂，且与直线x=-1相切．
（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆C₁的方程；（ⅱ）求动圆圆心C轨迹的方程；
（Ⅱ）在曲线上C有两点M、N，椭圆C₁上有两点P、Q，满足MF₂与

NF2

共线，

PF2

与

QF2

共线，且

PF2

•

MF2

=0，求四边形PMQN面积的最小值．

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已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4

x的焦点，离心率是

（I）求椭圆E的方程；
（II）过点C（-1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使

•

恒为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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