已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=45x的焦点,离心率是63(I)求椭圆E的方程;(II)过点C(-1,0),斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点,请
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已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=45x的焦点,离心率是63(I)求椭圆E的方程;(II)过点C(-1,0),斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点,请
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线
y
2
=4
5
x的焦点,离心率是
6
3
(I)求椭圆E的方程;
(II)过点C(-1,0),斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点,请问x轴上是否存在点M,使
MA
•
MB
恒为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(I)由题意,椭圆的焦点在x轴上,且a=
5
,c=e•a=
6
3
×
5
=
30
3
,故b=
a
2
-
c
2
=
5-
10
3
=
5
3
,
所以,椭圆E的方程为
x
2
5
+
y
2
5
3
=1,即x
2
+3y
2
=5.
(II)假设存在点M符合题意,设AB:y=k(x+1),
代入方程E:x
2
+3y
2
=5,得(3k
2
+1)x
2
+6k
2
x+3k
2
-5=0;
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),M(m,0),则
x
1
+x
2
=-
6
k
2
3
k
2
+1
,x
1
x
2
=
3
k
2
-5
3
k
2
+1
;
∴
MA
•
MB
=(k
2
+1)x
1
x
2
+(k
2
-m)(x
1
+x
2
)+k
2
+m
2
=m
2
+2m-
1
3
-
6m+14
3(3
k
2
+1)
,
要使上式与k无关,则有6m+14=0,解得m=-
7
3
;
所以,存在点M(-
7
3
,0)满足题意.
举一反三
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)上的一动点P到右焦点的最短距离为
2
-1
,且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 过点M(0,
-
1
3
)的动直线l交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l如何转动,以AB为直径的圆恒过定点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
3
2
的椭圆过点(
2
,
2
2
)
(1)求椭圆方程;
(2)设不过原点O的直线l:y=kx+m(k≠0),与该椭圆交于P、Q两点,直线OP、OQ的斜率依次为k
1
、k
2
,满足4k=k
1
+k
2
①求证:m
2
为定值,并求出此定值;
②求△OPQ面积的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
的焦点在x轴上,过点(1,
1
2
)做圆x
2
+y
2
=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是______.
题型:江西
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右焦点为F(2,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△MOF是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k
1
,k
2
,且k
1
+k
2
=8,证明:直线AB过定点(
-
1
2
, -2
).
题型:包头三模
难度:
|
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已知椭圆
x
2
4
+
y
2
b
2
=1(0<b<2)的离心率等于
3
2
,抛物线x
2
=2py (p>0).
(1)若抛物线的焦点F在椭圆的顶点上,求椭圆和抛物线的方程;
(2)若抛物线的焦点F为(0,
1
2
),在抛物线上是否存在点P,使得过点P的切线与椭圆相交于A,B两点,且满足OA⊥OB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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