已知中心在原点,焦点在x轴上,离心率为32的椭圆过点(2,22)(1)求椭圆方程;(2)设不过原点O的直线l:y=kx+m(k≠0),与该椭圆交于P、Q两点,直
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已知中心在原点,焦点在x轴上,离心率为32的椭圆过点(2,22)(1)求椭圆方程;(2)设不过原点O的直线l:y=kx+m(k≠0),与该椭圆交于P、Q两点,直
题型:不详
难度:
来源:
已知中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
3
2
的椭圆过点(
2
,
2
2
)
(1)求椭圆方程;
(2)设不过原点O的直线l:y=kx+m(k≠0),与该椭圆交于P、Q两点,直线OP、OQ的斜率依次为k
1
、k
2
,满足4k=k
1
+k
2
①求证:m
2
为定值,并求出此定值;
②求△OPQ面积的取值范围.
答案
(1)由题设条件,设c=
3
k
,a=2k,则b=k,
∴椭圆方程为
x
2
4k
2
+
y
2
k
2
=1
,
把点(
2
,
2
2
)代入,得k
2
=1,
∴椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
=1
.
(2)①由
y=kx+m
x
2
4
+
y
2
=1
,得(1+4k
2
)x
2
+8kmx+4(m
2
-1)=0,
∴
x
1
+
x
2
=-
8km
1+4
k
2
,
x
1
x
2
=
4(
m
2
-1)
1+4
k
2
.
∵直线OP,OQ的斜率依次为k
1
,k
2
,
∴
4k=
k
1
+
k
2
=
y
1
x
1
+
y
2
x
2
=
k
x
1
+m
x
1
+
k
x
2
+m
x
2
,
∴2kx
1
x
2
=m(x
1
+x
2
),由此解得
m
2
=
1
2
,验证△>0成立.
②
S
△OPQ
=
1
2
|
x
1
-
x
2
| • |m|=
8
k
2
+1
1+4
k
2
,令
8
k
2
+1
=t>1
,
得
S
△OPQ
=
2t
t
2
+1
=
2
t+
1
t
<1
,
∴S
△OPQ
∈(0,1).
举一反三
若椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
的焦点在x轴上,过点(1,
1
2
)做圆x
2
+y
2
=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是______.
题型:江西
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右焦点为F(2,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△MOF是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k
1
,k
2
,且k
1
+k
2
=8,证明:直线AB过定点(
-
1
2
, -2
).
题型:包头三模
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
4
+
y
2
b
2
=1(0<b<2)的离心率等于
3
2
,抛物线x
2
=2py (p>0).
(1)若抛物线的焦点F在椭圆的顶点上,求椭圆和抛物线的方程;
(2)若抛物线的焦点F为(0,
1
2
),在抛物线上是否存在点P,使得过点P的切线与椭圆相交于A,B两点,且满足OA⊥OB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C的两焦点为F
1
(-1,0),F
2
(1,0),并且经过点
M(1 ,
3
2
)
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知圆O:x
2
+y
2
=1,直线l:mx+ny=1,证明当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交;并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围.
题型:怀柔区二模
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右焦点为F(1,0),且点(-1,
2
2
)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得
QA
•
QB
=-
7
16
恒成立?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
题型:海淀区二模
难度:
|
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