若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,过点(1,12)做圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是__
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若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,过点(1,12)做圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是__
题型:江西
难度:
来源:
若椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
的焦点在x轴上,过点(1,
1
2
)做圆x
2
+y
2
=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是______.
答案
设切点坐标为(m,n)则
n-
1
2
m-1
•
n
m
=-1
即
m
2
+
n
2
-
1
2
n-m=0
∵m
2
+n
2
=1
∴m
+
1
2
n-1=0
即AB的直线方程为2x+y-2=0
∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点
∴2c-2=0;b-2=0
解得c=1,b=2
所以a
2
=5
故椭圆方程为
x
2
5
+
y
2
4
=1
故答案为
x
2
5
+
y
2
4
=1
举一反三
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右焦点为F(2,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△MOF是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k
1
,k
2
,且k
1
+k
2
=8,证明:直线AB过定点(
-
1
2
, -2
).
题型:包头三模
难度:
|
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已知椭圆
x
2
4
+
y
2
b
2
=1(0<b<2)的离心率等于
3
2
,抛物线x
2
=2py (p>0).
(1)若抛物线的焦点F在椭圆的顶点上,求椭圆和抛物线的方程;
(2)若抛物线的焦点F为(0,
1
2
),在抛物线上是否存在点P,使得过点P的切线与椭圆相交于A,B两点,且满足OA⊥OB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C的两焦点为F
1
(-1,0),F
2
(1,0),并且经过点
M(1 ,
3
2
)
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知圆O:x
2
+y
2
=1,直线l:mx+ny=1,证明当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交;并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围.
题型:怀柔区二模
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右焦点为F(1,0),且点(-1,
2
2
)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得
QA
•
QB
=-
7
16
恒成立?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
题型:海淀区二模
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
经过点A(2,1),离心率为
2
2
,过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若
|MN|=
3
2
2
,求直线MN的方程.
题型:门头沟区一模
难度:
|
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