在平面直角坐标系xOy中,已知动点P在正比例函数y=x的图象上,点P的横坐标为m(m>0)。以点P为圆心,为半径的圆交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y
题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,已知动点P在正比例函数y=x的图象上,点P的横坐标为m(m>0)。以点P为圆心,为半径的圆交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于C、D两点(D点在点C的上方)。点E为平行四边形DOPE的顶点(如图)。 (1)写出点B、E的坐标(用含m的代数式表示); (2)连接DB、BE,设△BDE的外接圆交y轴于点Q(点Q异于点D),连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等?为什么? (3)连接BC,求∠DBC-∠DBE的度数。 |
答案
(1)B(3m,0),E(m,4m)(2)线段BQ与线段EQ的长相等,理由见解析(3)450 |
解析
解:(1)B(3m,0),E(m,4m)。 (2)线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下: 由(1)知B(3m,0),E(m,4m), ∵根据圆的对称性,点D点B关于y=x对称, ∴D(0,3m)。 ∴,, 。 ∴。∴△BDE是直角三角形。 ∴BE是△BDE的外接圆的直径。 设△BDE的外接圆的圆心为点G,则由B(3m,0),E(m,4m)得G(2m,2m)。
过点G作GI⊥DG于点I,则I(0,2m)。 根据垂径定理,得DI="IQ" ,∴Q(0,m)。 ∴。 ∴BQ=EQ。 (3)延长EP交x轴于点H,则EP⊥AB,BH=2m。
根据垂径定理,得AH=BH=2m,AO= m。 根据圆的对称性,OC="OA=" m。 又∵OB=3m,,, ∴。。 又∵∠COB=∠EDB=900,∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。 ∴∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=∠DBO。 又∵OB=OC,∴∠DBO=450。∴∠DBC-∠DBE=450。 (1)过点P 作PH⊥x轴于点H,PF⊥y轴于点F,连接OE,BP。
∵点P在正比例函数y=x的图象上,点P的横坐标为m(m>0), ∴ P(m,m),H(m,0),F(0,m),OH="OF=HP=" m。 ∵PB=,∴。 ∴OB="3" m。∴B(3m,0)。 ∵根据圆的对称性,点D点B关于y=x对称,∴D(0,3m)。 ∵四边形DOPE是平行四边形,∴PE=OD=3m,HE=4m。∴E(m,4 m)。 (2)由勾股定理和逆定理,易知△BDE是直角三角形,从而根据圆周角定理和垂径定理可得点Q的坐标,从而根据勾股定理可求出BQ和EQ的长比较即得。 (3)求出有关线段的长,可得,从而证得△COB∽△EDB,得到∠OBC=∠DBE。因此∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=∠DBO=450。 |
举一反三
如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°,∠APD=65°. (1)求∠B的大小; (2)已知AD=6求圆心O到BD的距离. |
如图,∠APB=300,圆心在边PB上的⊙O半径为1cm,OP=3cm,若⊙O沿BP 方向移动,当⊙O与PA相切时,圆心O移动的距离为 ▲ cm. |
如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP. (1)求证:直线CP是⊙O的切线. (2)若BC=2,sin∠BCP=,求点B到AC的距离. (3)在第(2)的条件下,求△ACP的周长. |
如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,以A为圆心,AD为半径的圆与BC切于点M,与AB交于点E,若AD=2,BC=6,则的长为( ) |
圆内接四边形ABCD中,∠A、∠B、∠C的度数比是2︰3︰6,则∠D的度数是( ) (A)67.5° (B)135° (C)112.5° (D)110° |
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