解:(1)∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP,在△ABC中,∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°, ∴2∠BCP+2∠BCA=180°。 ∴∠BCP+∠BCA=90°,即∠PCA=90°。 又∵AC是⊙O的直径,∴直线CP是⊙O的切线。 (2)如图,作BD⊥AC于点D, ∵PC⊥AC,∴BD∥PC。∴∠PCB=∠DBC。 ∵C=2,sin∠BCP= ∴,解得:DC=2。 ∴由勾股定理得:BD=4。∴点B到AC的距离为4。 (3)如图,连接AN, 在Rt△ACN中,, 又CD=2,∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3。 ∵BD∥CP,∴△ABD∽△ACP。 ∴,即。∴。 在Rt△ACP中,。 ∴△ACP的周长为。 (1))根据∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP,在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°,得到2∠BCP+2∠BCA=180°,从而得到∠BCP+∠BCA=90°,证得直线CP是⊙O的切线。 (2)作BD⊥AC于点D,得到BD∥PC,从而利用求得DC=2,再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4。 (3)先求出AC的长度,然后由BD∥PC求得△ABD∽△ACP,利用比例线段关系求得CP的长度,再由勾股定理求出AP的长度,从而求得△ACP的周长 |