已知椭圆x24+y2b2=1（0＜b＜2）的离心率等于32，抛物线x2=2py （p＞0）．（1）若抛物线的焦点F在椭圆的顶点上，求椭圆和抛物线的方程；（2）若

题型：不详难度：来源：

已知椭圆

=1（0＜b＜2）的离心率等于

，抛物线x²=2py （p＞0）．
（1）若抛物线的焦点F在椭圆的顶点上，求椭圆和抛物线的方程；
（2）若抛物线的焦点F为（0，

），在抛物线上是否存在点P，使得过点P的切线与椭圆相交于A，B两点，且满足OA⊥OB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）由椭圆方程得：a=2，e=

∴c=

，∴b=

a2-c2

=1　　
∴椭圆方程为

+y2=1；
由题意得：抛物线的焦点应为椭圆的上顶点，即（0，1）点，∴p=2
∴抛物线方程为x²=4y
（2）由题意可得p=1，∴抛物线方程为x²=2y…①
设抛物线上存在一点P（a，b），则抛物线在点P处的切线斜率为k=y′|_x=a=a
∴过点P的切线方程为y-b=a（x-a），即y=ax-b
代入椭圆方程，可得（4a²+1）x²-8abx+4b²-4=0…②
设切线与椭圆的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），故x₁+x₂=

8ab

4a2+1

，x₁x₂=

4b2-4

4a2+1

∴

•

=x₁x₂+y₁y₂═(a2+1)x1x2-ab(x1+x2)+b2=

(a2+1)(4b2-4)-8a2b2+(4a2+1)b2

4a2+1

∵OA⊥OB，∴

•

=0
∴4a²-5b²+4=0
代入a²=2b可得5b²-8b-4=0
∴b=2或-

（舍去）
b=2代入①得a=±2
将a，b代入②检验△=208＞0
∴存在这样的点P（±2，2）满足条件．

举一反三

已知椭圆C的两焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），并且经过点M(1 ，

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1，证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．

题型：怀柔区二模难度：| 查看答案

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），且点（-1，

）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得

•

恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

题型：海淀区二模难度：| 查看答案

已知椭圆

=1(a＞b＞0)经过点A（2，1），离心率为

，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若|MN|=

，求直线MN的方程．

题型：门头沟区一模难度：| 查看答案

已知椭圆

=1(a＞b＞0)的离心率为

．
（I）若原点到直线x+y-b=0的距离为

，求椭圆的方程；
（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点．
（i）当|AB|=

，求b的值；
（ii）对于椭圆上任一点M，若

=λ

+μ

，求实数λ，μ满足的关系式．

题型：不详难度：| 查看答案

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点（-1，

）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点Q（

，0），动直线l过点F，且直线l与椭圆C交于A，B两点，证明：

•

为定值．

题型：海淀区二模难度：| 查看答案