(I)∵d==,∴b=2∵e==,∴=∵a2-b2=c2,∴a2-4=a2解得a2=12,b2=4. 椭圆的方程为+=1.(4分) (II)(i)∵=,∴a2=3b2,c2=a2=2b2.椭圆的方程可化为:x2+3y2=3b2① 易知右焦点F(b,0),据题意有AB:y=x-b② 由①,②有:4x2-6bx+3b2=0③ 设A(x1,y1),B(x2,y2),|AB|====b=∴b=1(8分) (II)(ii)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数λ,μ,使得等=λ+μ成立. 设M(x,y),∵(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2),∴x=λx1+μx2,y=λy1+μy2, 又点M在椭圆上,∴(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2④ 由③有:x1+x2=,x1x2= 则x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-b)(x2-b)=4x1x2-3b(x1+x2)+6b2 3b2-9b2+6b2=0⑤ 又A,B在椭圆上,故有x12+3y12=3b2,x22+3y22=3b2⑥ 将⑥,⑤代入④可得:λ2+μ2=1.(14分) |