面面垂直
两个平面垂直的判定和性质
两个平面垂直的判定和性质：
(1)判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
(2)定义法：即证两个相交平面的二面角为直角;
相关试题
直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为 
的正方形，侧棱长为4。 
（1）求证：平面B1AC⊥平面BDD1B1；
（2）求点D1到平面B1AC的距离d；
（3）求三棱锥B1-ACD1的体积V。如图，一张平行四边形的硬纸片ABC0D中，AD=BD=1， 
。沿它的对角线BD把△BDC0折起，使点C0到达平面ABC0D外点C的位置。
（1）证明：平面ABC0D⊥平面CBC0；
（2）如果△ABC为等腰三角形，求二面角A-BD-C的大小。正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，地面边长为2 
，侧棱长为4，
（1）求证：平面AB1C⊥平面BDD1B1；
（2）求D1到面AB1C的距离；
（3）求三棱锥D1-ACB1的体积V。如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且 
，G是EF的中点，
（1）求证：平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值。如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E。 
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求二面角P-DC-B的大小；
（3）求证：平面PAD⊥平面PAB。已知直线l，m，平面α，β且l⊥α， 
，给出下列四个命题中，正确命题的个数为
（1）若α∥β，则l⊥m；（2）若l⊥m，则α∥β；
（3）若α⊥β，则l∥m；（4）若l∥m，则α⊥β。[ ] A、1
B、2
C、3
D、4如图，四面体ABCD中，点O是BD的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= 
，
（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值。设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
其中正确命题的序号是[ ]
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．①和④如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=AA1。 
（Ⅰ）求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
（Ⅱ）求证：BC1⊥AB1；
（Ⅲ）求二面角B-AB1-C1的大小。如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD=120°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E为PA的中点，O为底面对角线的交点； 
（1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-EB-D的正切值。在空间，下列命题正确的是 [ ]
A．平行于同一平面的两条直线平行
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面
AEC外一点F满足FC⊥平面BDE，FB=
。 
（1）证明：平面BEF⊥平面BDF；
（2）求二面角F-DE-B的正切值。已知m，n，l是直线，α、β是平面，下列命题中：
①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；
②若l平行于α，则α内可有无数条直线与l平行；
③若
，
且l⊥m，则α⊥β；
④若m⊥n，n⊥l，则m∥l；
⑤若
，
且α∥β，则m∥l；
正确的命题个数为[ ]
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个已知三棱锥A-BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD的动点，且 
。 
（1）求证：不论 
为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）当
为何值时，平面BEF⊥平面ACD。 如图：点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：
①三棱锥A-D1PC的体积不变；②A1P∥面ACD1；③DP⊥BC1；④面PDB1⊥面ACD1；
其中正确的命题的序号是（ ）。
在空间，下列命题中正确的是 [ ]
A．垂直于同一直线的两条直线平行
B．垂直于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面平行
D．平行于同一平面的两个平面平行如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上。 
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当
，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小。 已知直线m，平面α 和β，下列结论中正确的是 [ ]
A、m∥α ，α ∥β=>m∥β
B、m⊥α ，α ∥β=>m⊥β
C、m∥α ，α ⊥β=>m⊥β
D、m⊥α ，α ⊥β=>m∥β下列叙述正确的是 [ ]
A、若一条直线a上有两个点到平面α的距离相等，则a∥α
B、三个平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
C、三个平面α，β，γ，若
，α⊥β，α⊥γ，则a⊥α
D、与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面，有下列命题：
①m∥n，
；
②l⊥α，m⊥β，
；
③
；
④α⊥β，α∩β=m，
，
，
其中正确的命题个数是[ ]
A、0
B、1
C、2
D、3已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是 [ ]
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1， 
，A1A⊥平面
ABC，
，
，AC=2，
，
。
（Ⅰ）证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；
（Ⅱ）求AA1与平面BCC1B1所成角的正弦值。下列说法不正确的是 [ ]
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=1，∠B=90°，∠C=135°，沿对角线AC将△ABC折起，使平面ABC⊥平面ACD。 
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角B-AD-C的大小。如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心， PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证： 
（1）PA//平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE；
（3）若PO=1，AB=2，求异面直线OE与AD所成角的余弦值。如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点。 
（1）求直线D1C与底面ABCD所成的角；
（2）求证：EF∥平面CB1D1；
（3）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1。如图，已知四棱锥 P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，平面PBC⊥平面ABCD，O是BC的中点，AO交BD于点E。 
（1）证明：PA⊥BD；
（2）点M为直线PA上的一点，当点M在何位置时有PA⊥平面BDM，并证明；
（3）判断平面PAD与平面PAB是否垂直，并证明你的结论。如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE=2，AC=AA1=4，∠E=
60°，点B为DE的中点。
（1）求证：平面A1BC⊥平面A1ABB1；
（2）设二面角A1-BC-A的大小为α，直线AC与平面A1BC所成的角为β，求sin（α+β）的值。如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，AA1=AB=2。 
（1）求证：平面A1BC⊥平面A1AC；
（2）求三棱锥A1-ABC的体积的最大值。α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③m⊥β；④n⊥α，
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，
写出你认为正确的一个命题：若（ ），则（ ）。（填序号）已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且 
。 
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。 
（1）求证：面EFG⊥面PAB；
（2）求异面直线EG与BD所成的角的余弦值；
（3）求点A到面EFG的距离。已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD的射影是O。 
（Ⅰ）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若点E，F分别在棱AA1，BC上，且AE=2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD；
（Ⅲ）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B的大小（用反三角函数表示）。已知直线l⊥平面α，直线m 
平面β，给出下列命题：
①α∥β
⊥m；②α⊥β
∥m；③l∥m
α⊥β；④l⊥m
α∥β。
其中正确命题的序号是[ ]
A、①②③
B、②③④
C、①③
D、②④如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为θ，且tanθ= 
。 
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（Ⅱ）记AC=x，V(x)表示三棱锥A-CBE的体积，求V(x)的表达式；
（Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求二面角D-AB-C的大小。设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是 [ ]
A．m⊥α， 
，m⊥n
α⊥β
B．α∥β，m⊥α，n∥β
m⊥n
C．α⊥β，m⊥α，n∥β
m⊥n
D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m
n⊥β已知直线l⊥平面α，直线m 
平面β，下列四个命题中正确的是
（1）α∥β
l⊥m；（2）α⊥βl∥m；（3）l∥mα⊥β；（4）l⊥m
α∥β； A．（1）与（2）
B．（3）与（4）
C．（2）与（4）
D．（1）与（3）若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①α⊥γ，β⊥γ
α⊥β；②α⊥γ，β∥γ
α⊥β；③l∥α，l⊥β
α⊥β；
其中正确的命题的个数有[ ]
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，现给出下列四个命题，其中正确命题的序号为（ ）。
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β。下列命题中错误的是 [ ]
A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
B.如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
C.如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
其中正确命题的序号是[ ]
A、①和②
B、②和③
C、③和④
D、①和④已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；
②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；
③若m
α，l
β且l⊥m，则α⊥β；
④若l
β，l⊥α，则α⊥β；
⑤若mα，l
β且α∥β，则m∥l；
其中正确命题的序号是（ ）．（把你认为正确命题的序号都填上）设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；[ ]
A、①和②
B、②和③
C、③和④
D、①和④如图，平面α⊥平面β，α∩β=直线l，A、C是α内不同的两点，B、D是β内不同的两点，且A、B、C、D 
直线l，M、N分别是线段AB、CD的中点，下列判断正确的是（ ）。
①当|CD|=2|AB|时，M，N两点不可能重合；
②M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交；
③当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交；
④当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行；
，则b∥α
，则b⊥α
。
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