如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为θ，且tanθ=。 （Ⅰ）证明

题型：0103 期末题难度：来源：

如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为θ，且tanθ=。
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（Ⅱ）记AC=x，V(x)表示三棱锥A-CBE的体积，求V(x)的表达式；
（Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求二面角D-AB-C的大小。

答案

（Ⅰ）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，
∴CD∥BE，BC∥DE，
∵DC⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴DC⊥BC，
∵AB是圆O的直径，
∴BC⊥AC且DC∩AC=C，
∴BC⊥平面ADC，
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC，
又∵DE平面ADE，
∴平面ACD⊥平面ADE。
（Ⅱ）解：∵DC⊥平面ABC，
∴BE⊥平面ABC，
∴∠EAB为AE与平面ABC所成的角，即∠EAB =θ，
在Rt△ABE中，由，AB=2得，
在Rt△ABC中，
∵（0＜x＜2），
∴，
∴（0＜x＜2）。

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知0＜x＜2，要取得最大值，
当且仅当取得最大值，
∵当且仅当，
即时，“=”成立，
∴当取得最大值时，，这时△ACB为等腰直角三角形，
连结CO，DO，
∵AC=BC，DC=DC，
∴≌，
∴AD=DB，
又∵O为AB的中点，
∴CO⊥AB，DO⊥AB，
∴∠DOC为二面角D-AB-C的平面角，
在Rt△DCO中，∵，，
∴，
∴∠DOC =60°，
即当取得最大值时，二面角D-AB-C为60°。