已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD的射影是O。 （Ⅰ）求证：平面O1DC⊥平面ABCD

题型：0103 模拟题难度：来源：

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为正方形，O₁，O分别为上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD的射影是O。
（Ⅰ）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若点E，F分别在棱AA₁，BC上，且AE=2EA₁，问点F在何处时，EF⊥AD；
（Ⅲ）若∠A₁AB=60°，求二面角C-AA₁-B的大小（用反三角函数表示）。

答案

（Ⅰ）证明：连结，则O为AC，BD的交点，O₁为A₁C₁，的交点。
由平行六面体的性质知：且，
∴四边形为平行四边形，，
又平面ABCD，
∴平面ABCD，
又平面，
∴平面⊥平面ABCD。
（Ⅱ）解：作EH⊥平面ABCD，垂足为H，则，点H在直线AC上，
且EF在平面ABCD上的射影为HF。
由三垂线定理及其逆定理，知，
，
∴AH=2HO，从而CH=2AH，
又，
∴CF=2BF，从而，
∴当F为BC的三等分点（靠近B）时，有EF⊥AD。
（Ⅲ）解：过点O作，垂足为M，连接BM，
平面ABCD，
∴，
又，
∴OB⊥平面，
由三垂线定理得，
∴∠OMB为二面角的平面角，
在Rt△AMB中，，∴，
又，∴，
∴，
即二面角的大小为。