已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为12,上、下顶点分别为A1,A2,椭圆上的点到上焦点F1的距离的最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程.

已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为12,上、下顶点分别为A1,A2,椭圆上的点到上焦点F1的距离的最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,上、下顶点分别为A1,A2,椭圆上的点到上焦点F1的距离的最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)以原点为顶点,F1为焦点的抛物线上的点P(非原点)处的切线与x轴,y轴分别交于Q、R两点,若


PQ


PR
,求λ的值.
(3)是否存在过点(0,m)的直线l,使得l与椭圆相交于A、B两点(A、B不是上、下顶点)且满足


A1A


A1B
=0
,若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.魔方格
答案
(1)依题意得:





c
a
=
1
2
a-c=1
,∴





a=2
c=1
,∴b2=a2-c2=3
∴所求的椭圆方程为:
y2
4
+
x2
3
=1


(2)由(1)知,F1(0,1)则抛物线的方程为x2=4y
y=
1
4
x2∴y′=
1
2
x

P(t,
t2
4
)(t≠0)
则该点处的切线的斜率k=y′|x=t=
t
2

∴切线方程为y-
t2
4
=
t
2
(x-t)

y=0得Q(
t
2
,0)
x=0得R(0,-
t2
4
)



PQ
=(-
t
2
,-
t2
4
)


PR
=(-t,-
t2
2
)



PQ
=
1
2


PR
λ=
1
2


(3)假设存在过点(0,m)的直线l,满足条件,则l的斜率必存在,
∴可设l方程为y=kx+m联立





y=kx+m
y2
4
+
x2
3
=1
消去y得(4+3k2)x2+6mkx+3(m2-4)=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2





△=36m2k2-12(4+3k2)(m2-4)>0①
x1+x2=-
6mk
4+3k2
x1x2=
3(m2-4)
4+3k2

由①得4+3k2-m2>0
由②③及直线l的方程得y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2
=
4(m2-3k2)
4+3k2
y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m
=
8m
4+3k2

∵椭圆的上顶点为A1(0,2),


A1A


A1B
=0

∴x1x2+(y1-2)(y2-2)=0即x1x2+y1y2-2(y1+y2)+4=0
3(m2-4)
4+3k2
+
4(m2-3k2)
4+3k2
-2×
8m
4+3k2
+4=0

整理得7m2-16m+4=0解得m=
2
7
或m=2

当m=2时,直线l的方程为y=kx+2过椭圆的上顶点A1(0,2)与已知矛盾
m=
2
7
时,直线l的方程为y=kx+
2
7
符合题意
∴存在过点(0,m)的直线l,使得l与椭圆相交于A、B两点,且满足


A1A


A1B
=0
,实数m的值为
2
7
举一反三
已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,若其离心率为
1
2
,焦距为8,则该椭圆的方程是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆E的中心在坐标原点O,经过两点A(1,
2


5
5
),B(-2,


5
5
).
圆C以点(2,0)为圆心,椭圆的短半袖长为半径.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若点P是圆C上的一个动点,求


CP


OP
的取值范围.
题型:江苏模拟难度:| 查看答案
在直角坐标系xoy上取两个定点A1(-2,0),A2(2,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=3.
(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程;
(2)已知点A(1,t)(t>0)是轨迹M上的定点,E,F是轨迹M上的两个动点,如果直线AE的斜率kAE与直线AF的斜率kAF满足kAE+kAF=0,试探究直线EF的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为.与双曲线x2-y2=1的渐近线有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆c的方程为(  )
题型:山东难度:| 查看答案
A.B.
C.
D.
若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点,则椭圆方程是(   )
题型:不详难度:| 查看答案
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