如图，已知椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M（0，r）（b＞r＞0（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；（Ⅱ）设直线y=k1x与椭圆

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如图，已知椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心M（0，r）（b＞r＞0
（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）设直线y=k₁x与椭圆交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）（y₂＞0），直线y=k₂x与椭圆次于G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄＞0）．求证：

k1x1x2

x1+x2

k1x3x4

x3+x4

；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在C，D，G，H，设CH交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求证：|OP|=|OQ|
（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）魔方格

答案

（Ⅰ）∵椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心M（0，r），
∴椭圆方程为

(y-r)2

=1
焦点坐标为F1(-

a2-b2

，r)，F2(

a2-b2

，r)
离心率e=

a2-b2

（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k₁x代入椭圆方程

(y-r)2

=1，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2
整理得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
根据韦达定理，得x1+x2=

2k1a2r

b2+a2k12

，x1x2=

a2r2-a2b2

b2+a2k12

，
所以

x1x2

x1+x2

r2-b2

2k1r

①
将直线GH的方程y=k₂x代入椭圆方程

(y-r)2

=1，同理可得

x3x4

x3+x4

r2-b2

2k2r

②
由 ①、②得

k1x1x2

x1+x2

r2-b2

k2x3x4

x3+x4

所以结论成立
（Ⅲ）证明：设点P（p，0），点Q（q，0）
由C、P、H共线，得

x1-p

x4-p

k1x1

k2x4

解得 p=

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

由D、Q、G共线，同理可得

x2-p

x3-p

k1x2

k2x3

∴q=

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

由

k1x1x2

x1+x2

k2x3x4

x3+x4

变形得-

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

所以|p|=|q|
即|OP|=|OQ|

举一反三

已知椭圆C：

=1(a＜b＜0)的左、右焦点分别为F₁，F₂点A在椭圆C上，

AF1

•

F1F2

=0，3|

AF2

|•|F1A|=-5

AF2

•

F1A

，|

F1F2

|=2，过点F₂且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得

•

？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．

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已知点A、B分别是椭圆

=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=

，S_△ABC=

．动直线，l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上存在点P，满足

=λ

（O为坐标原点），求λ的取值范围；
（III）在（II）的条件下，当λ取何值时，△MNO的面积最大，并求出这个最大值．

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已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

，短轴长为4

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）P（2，3），Q（2．-3）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ的斜率是否为定值，说明理由．魔方格

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已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足

（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

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在平面内，已知椭圆

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁，F₂，椭圆的离心率为

，P点是椭圆上任意一点，且|PF₁|+|PF₂|=4，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）以椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的等腰直角三角形是否存在？若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程？若不存在，请说明理由．

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