在平面内,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,椭圆的离心率为32,P点是椭圆上任意一点,且|PF1|+|PF2|=4,(1)求椭
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在平面内,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,椭圆的离心率为32,P点是椭圆上任意一点,且|PF1|+|PF2|=4,(1)求椭
题型:不详
难度:
来源:
在平面内,已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的两个焦点为F
1
,F
2
,椭圆的离心率为
3
2
,P点是椭圆上任意一点,且|PF
1
|+|PF
2
|=4,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)以椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的等腰直角三角形是否存在?若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程?若不存在,请说明理由.
答案
(1)由题意得
2a=4
c
a
=
3
2
,∴
a=2
c=
3
,∴b=1,
∴方程为:
x
2
4
+
y
2
1
=1
.(5分)
(2)设BA的直线方程为设y=kx+1,(不妨设k>0)
由
y=kx+1
x
2
4
+
y
2
1
=1
,得(1+4k
2
)x
2
+8kx=0,
∴
x
1
=0,
x
2
=
-8k
4
k
2
+1
,(7分)
∴
A(
-8k
4
k
2
+1
,
-8
k
2
4
k
2
+1
+1)
,
∴
AB=
(
-8k
4
k
2
+1
)
2
+
(
-8
k
2
4
k
2
+1
)
2
=
8k
4
k
2
+1
k
2
+1
,
∴
BC=
8
k
2
+1
k
2
+4
,
由AB=BC,得k(k
2
+4)=4k
2
+1,
即(k-1)(k
2
-3k+1)=0,即k=1或
k=
3±
5
2
所以,存在3个等腰直角三角形.
直角边所在直线方程为
y=±x+1,y=
±3+
5
2
x+1,y=
±3-
5
2
x+1
.…(15分)
举一反三
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的长轴长是短轴长的两倍,焦距为
3
2
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N,且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知点P(-1,
3
2
)是椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)上一点,F
1
、F
2
分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF
1
⊥x轴.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设A、B是椭圆E上两个动点,
PA
+
PB
=λ
PO
(0<λ<4,且λ≠2).求证:直线AB的斜率等于椭圆E的离心率;
(3)在(2)的条件下,当△PAB面积取得最大值时,求λ的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左顶点A(-2,0),过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过点A的直线l与椭圆交于点Q,与y轴交于点R,过原点与l平行的直线与椭圆交于点P,求证:
|AQ|•|AR|
|OP|
2
为定值.
题型:不详
难度:
|
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设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA=
π
4
,若AB=4,BC=
2
,则Γ的两个焦点之间的距离为______.
题型:上海
难度:
|
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已知椭圆离心率为0.5,且过(2,0)点,则椭圆的标准方程为______.
题型:不详
难度:
|
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