设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=π4，若AB=4，BC=2，则Γ的两个焦点之间的距离为______．

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设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=π4，若AB=4，BC=2，则Γ的两个焦点之间的距离为______．

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设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=
π
4
，若AB=4，BC=


2
，则Γ的两个焦点之间的距离为______．
答案

魔方格
如图，设椭圆的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1，
由题意知，2a=4，a=2．
∵∠CBA=
π
4
，BC=


2
，∴点C的坐标为C（-1，1），
因点C在椭圆上，∴
(-1)2
4
+
12
b2
=1，
∴b2=
4
3
，
∴c2=a2-b2=4-
4
3
=
8
3
，c=
2


6
3
，
则Γ的两个焦点之间的距离为
4


6
3
．
故答案为：
4


6
3
．
举一反三
已知椭圆离心率为0.5，且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为______．
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已知F1（-1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（　　）
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A．B．C．D．
在平面直角坐标系中，若方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为（　　）
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A．（0，1）B．（1，+∞）C．（0，5）D．（5，+∞）
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=


2
2
，在椭圆E上存在A，B两点关于直线l：y=x+1对称．
（Ⅰ）现给出下列三个条件：①直线AB恰好经过椭圆E的一个焦点；②椭圆E的右焦点F到直线l的距离为2


2
；③椭圆E的左、右焦点到直线l的距离之比为
1
2
．
试从中选择一个条件以确定椭圆E，并求出它的方程；（注：只需选择一个方案答题，如果用多种方案答题，则按第一种方案给分）
（Ⅱ）若以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S，求b的值．魔方格
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2


2
3
，过双曲线
x2
b2
-
y2
a2
=1左支上一点M作直线l与双曲线的渐近线l1，l2分别交于A，B两点．
（1）求渐近线l1，l2的方程；
（2）若


AM
=3


BM
，且


OA
•


OB=8
，求椭圆的方程．魔方格