已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为223,过双曲线x2b2-y2a2=1左支上一点M作直线l与双曲线的渐近线l1,l2分别交于A,B两点.(
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为223,过双曲线x2b2-y2a2=1左支上一点M作直线l与双曲线的渐近线l1,l2分别交于A,B两点.(
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率为
2
2
3
,过双曲线
x
2
b
2
-
y
2
a
2
=1
左支上一点M作直线l与双曲线的渐近线l
1
,l
2
分别交于A,B两点.
(1)求渐近线l
1
,l
2
的方程;
(2)若
AM
=3
BM
,且
OA
•
OB=8
,求椭圆的方程.
答案
(1)∵
8
9
=
a
2
-
b
2
a
2
,得
b
a
=
1
3
,∴渐近线l
1
,l
2
的方程为y=±3x;
(2)设M(x
0
,y
0
),A(x
1
,3x
1
),B(x
2
,-3x
2
),
AM
=(x
0
-x
1
,y
0
-3x
1
),
BM
=(x
0
-x
2
,y
0
+3x
2
),
∴y
0
-3x
1
=3y
0
+9x
2
∴y
0
=
3
2
(-3x
2
-x
1
),∵
(3
x
2
-
x
1
)
2
4
b
2
-
9
4
(3
x
2
+
x
1
)
2
9
b
2
=1
,
∴4b
2
=-12x
1
x
2
,即b
2
=-3x
1
x
2
,
∵
OA
•
OB
=8,
∴x
1
x
2
+3x
1
(-3x
2
)=8,x
1
x
2
=-1,
∴b
2
=3,a
2
=27,
∴椭圆的方程为;
x
2
27
+
y
2
3
=1
.
举一反三
已知椭圆Γ:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
2
3
,半焦距为c(c>0),且a-c=1.经过椭圆的左焦点F,斜率为k
1
(k
1
≠0)的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程;
(Ⅱ)当k
1
=1时,求S
△AOB
的值;
(Ⅲ)设R(1,0),延长AR,BR分别与椭圆交于C,D两点,直线CD的斜率为k
2
,求证:
k
1
k
2
为定值.
题型:武汉模拟
难度:
|
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在直角坐标系中,O为坐标原点,直线l经过点P(3,
2
)及双曲线
x
2
3
-
y
2
=1
的右焦点F.
(1)求直线l的方程;
(2)如果一个椭圆经过点P,且以点F为它的一个焦点,求椭圆的标准方程;
(3)若在(1)、(2)情形下,设直线l与椭圆的另一个交点为Q,且
PM
=λ
PQ
,当|
OM
|最小时,求λ的值.
题型:不详
难度:
|
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设椭圆
x
2
m
2
+
y
2
n
2
=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y
2
=8x的焦点相同,离心率为
1
2
,则此椭圆的标准方程为______.
题型:枣庄一模
难度:
|
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若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线
x
2
5
-
y
2
4
=1
的顶点和焦点,则椭圆C的方程是______.
题型:上海
难度:
|
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椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的两个焦点为F
1
、F
2
,短轴两端点B
1
、B
2
,已知F
1
、F
2
、B
1
、B
2
四点共圆,且点N(0,3)到椭圆上的点最远距离为5
2
.
(1)求此时椭圆C的方程;
(2)设斜率为k(k≠0)的直线m与椭圆C相交于不同的两点E、F,Q为EF的中点,问E、F两点能否关于过点P(0,
3
3
)、Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.
题型:淄博二模
难度:
|
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