已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的两倍,焦距为32.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N,
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的两倍,焦距为32.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N,
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的长轴长是短轴长的两倍,焦距为
3
2
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N,且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围.
答案
解析:(1)由已知得
2a=2×2b
c
a
=
3
2
c
2
=
a
2
-
b
2
解得
a=2
b=1
,
所以椭圆C的方程:
x
2
4
+
y
2
=1
;
(2)由题意可设直线l的方程为:y=kx+m(k≠0,m≠0),
联立
y=kx+m
x
2
4
+
y
2
=1
消去y并整理,得:(1+4k
2
)x
2
+8kmx+4(m
2
-1)=0,
则△=64k
2
m
2
-16(1+4k
2
)(m
2
-1)=16(4k
2
-m
2
+1)>0,
此时设M(x
1
,y
1
)、N(x
2
,y
2
),则
x
1
+
x
2
=-
8km
1+4
k
2
,
x
1
x
2
=
4(
m
2
-1)
1+4
k
2
,
于是y
1
y
2
=(kx
1
+m)(kx
2
+m)=
k
2
x
1
x
2
+km(
x
1
+
x
2
)+
m
2
,
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列,
∴
y
1
x
1
•
y
2
x
2
=
k
2
x
1
x
2
+km(
x
1
+
x
2
)+
m
2
x
1
x
2
=k
2
⇒-
8
k
2
m
2
1+4
k
2
+
m
2
=0,
由m≠0得:
k
2
=
1
4
⇒k=
±
1
2
.
又由△>0 得:0<m
2
<2,显然m
2
≠1(否则:x
1
x
2
=0,则x
1
,x
2
中至少有一个为0,直线OM、ON中至少有一个斜率不存在,矛盾!)
设原点O到直线l的距离为d,则
S
△OMN
=
1
2
|MN|d=
1
2
×
|m|
1+
k
2
1+
k
2
|
x
1
-
x
2
|
=
1
2
|m|
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
=
-(
m
2
-1
)
2
+1
,
故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1).
举一反三
已知点P(-1,
3
2
)是椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)上一点,F
1
、F
2
分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF
1
⊥x轴.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设A、B是椭圆E上两个动点,
PA
+
PB
=λ
PO
(0<λ<4,且λ≠2).求证:直线AB的斜率等于椭圆E的离心率;
(3)在(2)的条件下,当△PAB面积取得最大值时,求λ的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左顶点A(-2,0),过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过点A的直线l与椭圆交于点Q,与y轴交于点R,过原点与l平行的直线与椭圆交于点P,求证:
|AQ|•|AR|
|OP|
2
为定值.
题型:不详
难度:
|
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设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA=
π
4
,若AB=4,BC=
2
,则Γ的两个焦点之间的距离为______.
题型:上海
难度:
|
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已知椭圆离心率为0.5,且过(2,0)点,则椭圆的标准方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知F
1
(-1,0),F
2
(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F
2
且垂直于x轴的直线交于A、B两点,且|AB|=3,则C的方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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