(1)∵PF1⊥x轴,∴F1(-1,0),c=1,F2(1,0), ∴|PF2|==,∴2a=|PF1|+|PF2|=4,∴a=2,∴b2=3, ∴椭圆E的方程为:+=1;…(3分) (2)证明:设A(x1,y1)、B(x2,y2), 由 +=λ得(x1+1,y1-)+(x2+1,y2-)=λ(1,-), 所以x1+x2=λ-2,y1+y2=(2-λ)…①…(5分) 又3+4=12,3+4=12, 两式相减得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0…..② 以①式代入可得AB的斜率k====e;…(8分) (3)设直线AB的方程为y=x+t,与3x2+4y2=12联立消去y并整理得 x2+tx+t2-3=0,△=3(4-t2), |AB|=|x1-x2|=×=×, 点P到直线AB的距离为d=, △PAB的面积为S=|AB|×d=×|t-2|,…(10分) 设f(t)=S2=-(t4-4t3+16t-16)(-2<t<2), f′(t)=-3(t3-3t2+4)=-3(t+1)(t-2)2,由f′(t)=0及-2<t<2得t=-1. 当t∈(-2,-1)时,f′(t)>0,当t∈(-1,2)时,f′(t)<0,f(t)=-1时取得最大值, 所以S的最大值为. 此时x1+x2=-t=1=λ-2,λ=3.…(12分) |