设椭圆M:(a>b>0)的离心率为,长轴长为6,设过右焦点F,(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭M于A,B两点,求证|AB|=。
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设椭圆M:(a>b>0)的离心率为,长轴长为6,设过右焦点F,(Ⅰ)求椭圆M的方程;(Ⅱ)设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭M于A,B两点,求证|AB|=。
题型:0101 期中题
难度:
来源:
设椭圆M:
(a>b>0)的离心率为
,长轴长为6
,设过右焦点F,
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭M于A,B两点,求证|AB|=
。
答案
解:(Ⅰ)
,
所求椭圆M的方程为
;
(Ⅱ)当θ≠
,设直线AB的斜率为k=tanθ,焦点F(3,0),
则直线AB的方程为y=k(x-3) ,
有
(1+2k
2
)x
2
-12k
2
x+18(k
2
-1)=0,
设点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
) ,
有x
1
+x
2
=
,x
1
x
2
=
,
|AB|=
,**
又因为k=tanθ=
代入**式得
|AB|=
;
当θ=
时,直线AB的方程为x=3,此时|AB|=
;
而当θ=
时,|AB|=
=
;
综上所述,所以|AB|=
。
举一反三
若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是
,则椭圆的标准方程是( )。
题型:上海高考真题
难度:
|
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已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2
,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是( )。
题型:上海高考真题
难度:
|
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我们把由半椭圆
(x≥0)与半椭圆
(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a
2
=
b
2
+c
2
,a>0,b>c>0。
如图,设点F
0
,F
1
,F
2
是相应椭圆的焦点,A
1
,A
2
和B
1
,B
2
是“果圆”与x,y轴的交点,M是线段A
1
A
2
的中点,
(1)若△F
0
F
1
F
2
是边长为1的等边三角形,求该 “果圆”的方程;
(2)设P是“果圆”的半椭圆
(x≤0)上任意一点,求证:当|PM|取得最小值时,P在点
B
1
,B
2
或A
1
处;
(3)若P是“果圆”上任意一点,求|PM|取得最小值时点P的横坐标。
题型:上海高考真题
难度:
|
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已知半椭圆
与半椭圆
组成的曲线称为“果圆”,其中a
2
=b
2
+
c
2
,a>0,b>c>0。如图,设点F
0
,F
1
,F
2
是相应椭圆的焦点,A
1
,A
2
和B
1
,B
2
是“果圆”与x,y轴的交点,
(1)若三角形F
0
F
1
F
2
是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;
(2)若|A
1
A|>|B
1
B|,求
的取值范围;
(3)一条直线与果圆交于两点,两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数k,使得斜率为k的直线交果圆于两点,得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上?若存在,求出所有k的值;若不存在,说明理由。
题型:上海高考真题
难度:
|
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如图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:|PM|+|PN|=6,
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若|PM|·|PN|=
,求点P的坐标。
题型:重庆市高考真题
难度:
|
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