我们把由半椭圆(x≥0)与半椭圆(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0。如图,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A

我们把由半椭圆(x≥0)与半椭圆(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0。如图,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A

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我们把由半椭圆(x≥0)与半椭圆(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a2=
b2+c2,a>0,b>c>0。
如图,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2是“果圆”与x,y轴的交点,M是线段A1A2的中点,
(1)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求该 “果圆”的方程;
(2)设P是“果圆”的半椭圆(x≤0)上任意一点,求证:当|PM|取得最小值时,P在点
B1,B2或A1处;
(3)若P是“果圆”上任意一点,求|PM|取得最小值时点P的横坐标。

答案
解:(1)∵

于是
所求“果圆”方程为
(2)设P(x,y),则


的最小值只能在x=0或x=-c处取到,
即当|PM|取得最小值时,P在点B1,B2或A1处;
(3),且B1和B2同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上,
所以,由(2)知,只需研究P位于“果圆”的半椭圆上的情形即可,

,即a≤2c时,的最小值在时取到,
此时P的横坐标是
,即a>2c时,由于在x<a时是递减的,的最小值在x=a时取到,
此时P的横坐标是a;
综上所述,若a≤2c,当|PM|取得最小值时,点P的横坐标是
若a>2c,当|PM|取得最小值时,点P的横坐标是a或-c。
举一反三
已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”,其中a2=b2+
c2,a>0,b>c>0。如图,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2是“果圆”与x,y轴的交点,
(1)若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;
(2)若|A1A|>|B1B|,求的取值范围;
(3)一条直线与果圆交于两点,两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数k,使得斜率为k的直线交果圆于两点,得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上?若存在,求出所有k的值;若不存在,说明理由。

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如图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:|PM|+|PN|=6,
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若|PM|·|PN|=,求点P的坐标。
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已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1,
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若P为椭圆C的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,(e为椭圆C的离心率),求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。
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已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1,
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,=λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。
题型:海南省高考真题难度:| 查看答案
已知椭圆的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为2,
(1)试求椭圆M的方程;
(2)若斜率为的直线l与椭圆M交于C、D两点,点P(1,)为椭圆M上一点,记直线PC的斜率为
k1,直线PD的斜率为k2,试问:k1+k2是否为定值?请证明你的结论。
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