已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点A（1，），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（﹣1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以M

题型：江西省月考题难度：来源：

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点A（1，），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（﹣1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

答案

解：（Ⅰ）由已知e==，即c²=a²，b²=a²﹣c²=a²，
∴
∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点A（1，），
∴
∴a²=2，
∴b²=1，
∴椭圆C的方程为+y²=1．
（Ⅱ）因为直线l经过椭圆内的点B（﹣1，0），所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M，N．当直线l的斜率不存在时，其方程是：x=﹣1，代入+y²=1得y=±，可知M（﹣1，），N（﹣1，）
∴以MN为直径的圆不经过坐标原点O当直线l的斜率存在时，
设方程是y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由，可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²﹣4=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=，
因为以MN为直径的圆经过坐标原点O，所以=0．
可得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k（x₁+1）k（x₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²=0．
∴（1+k²）×+k²×+k²=0．
∴k=±2
综上所述，过点B（﹣1，0）能作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，方程为y=2x+2或y=﹣2x﹣2．