已知椭圆的离心率为,为椭圆在轴正半轴上的焦点,、两点在椭圆上,且,定点.(1)求证:当时;(2)若当时有,求椭圆的方程;(3)在(2)的椭圆中,当、两点在椭圆上
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已知椭圆的离心率为,为椭圆在轴正半轴上的焦点,、两点在椭圆上,且,定点.(1)求证:当时;(2)若当时有,求椭圆的方程;(3)在(2)的椭圆中,当、两点在椭圆上
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
的离心率为
,
为椭圆在
轴正半轴上的焦点,
、
两点在椭圆
上,且
,定点
.
(1)求证:当
时
;
(2)若当
时有
,求椭圆
的方程;
(3)在(2)的椭圆中,当
、
两点在椭圆
上运动时,试判断
是否有最大值,若存在,求出最大值,并求出这时
、
两点所在直线方程,若不存在,给出理由.
答案
(1)详见解析;(2)
(3)存在,最大值为
,直线
方程为
,或
解析
试题分析:(1)设
,从而可得各向量的坐标。当
时
,可得
与
,
与
间的关系。将点
代入椭圆方程,结合
与
,
与
间的关系可得
,即
(2)当
时由(1)知
且
故可设
。根据
和
及
解方程组可求得
的值。(3)根据向量数量积公式及三角形面积公式分析可知
。设直线
的方程为
,与椭圆方程联立消去
整理为关于
的一元二次方程,可得根与系数的关系。从而可用
表示
。用配方法求最值。注意讨论直线
斜率不存在和斜率为0两种特殊情况。
(1)设
,则
,
当
时,
,
由M,N两点在椭圆上,
若
,则
舍,
(2)当
时,不妨设
又
,
,椭圆C的方程为
(3)
,
设直线
的方程为
联立
,得
,
记
,
则
,当
,即
时取等号 .
并且,当k=0时
,
当k不存在时
综上
有最大值,最大值为
此时,直线
的方程为
,或
举一反三
方程
表示椭圆,则实数
的取值范围为
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
:
.
(1)求椭圆
的离心率;
(2)设
为原点,若点
在椭圆
上,点
在直线
上,且
,试判断直线
与圆
的位置关系,并证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
的左、右焦点为
、
,离心率为
,过
的直线
交C于A、B两点,若
的周长为
,则C的方程为
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知
是椭圆和双曲线的公共焦点,
是他们的一个公共点,且
,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A.
B.
C.3
D.2
题型:不详
难度:
|
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如图,
为坐标原点,椭圆
的左右焦点分别为
,离心率为
;双曲线
的左右焦点分别为
,离心率为
,已知
,且
.
(1)求
的方程;
(2)过
点作
的不垂直于
轴的弦
,
为
的中点,当直线
与
交于
两点时,求四边形
面积的最小值.
题型:不详
难度:
|
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