已知椭圆的两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2且∠F1B1F2为的菱形的四个顶点.(1)求椭圆的方程;(2)过右焦点F2 ,斜率为()的直线与椭圆相交于两点,A
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已知椭圆的两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2且∠F1B1F2为的菱形的四个顶点.(1)求椭圆的方程;(2)过右焦点F2 ,斜率为()的直线与椭圆相交于两点,A
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
的两个焦点
和上下两个顶点
是一个边长为2且∠F
1
B
1
F
2
为
的菱形的四个顶点.
(1)求椭圆
的方程;
(2)过右焦点F
2
,斜率为
(
)的直线
与椭圆
相交于
两点,A为椭圆的右顶点,直线
、
分别交直线
于点
、
,线段
的中点为
,记直线
的斜率为
.求证:
为定值.
答案
(1)
;(2)
为定值
.
解析
试题分析:(1)由椭圆两个焦点
和上下两个顶点
是一个边长为2且∠F
1
B
1
F
2
为
的菱形的四个顶点可得
,从而得到椭圆方程.(2)通过题目条件,将直线
方程设出来,再将它与椭圆交点坐标设出来,即点
,点
,再分别表示出直线
、
的方程,令
,得到点
,
,的坐标,再利用中点坐标公式得到线段
的中点为
的坐标,利用斜率公式即得到
,通过联立直线
与椭圆方程,用韦达定理替换
,
,化简之后即可证明
为定值.本题利用“设而不求”达到证明的目的,充分利用韦达定理消去繁杂的未知数.这是解决带有直线与圆锥曲线交点问题的常用的手段.
试题解析:(1)由条件知
, 2分
故所求椭圆方程为
. 4分
(2)设过点
的直线
方程为:
,设点
,点
,
将直线
方程
代入椭圆
:
,
整理得:
, 6分
因为点
在椭圆内,所以直线
和椭圆都相交,
恒成立,且
8分
直线
的方程为:
,直线
的方程为:
,令
,
得点
,
,所以点
的坐标
. 9分
直线
的斜率为
.
. 11分
将
代入上式得:
.
所以
为定值
. 14分
举一反三
若
是2和8的等比中项,则圆锥曲线
的离心率是( )
A.
B.
C.
或
D.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
方程为
,过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为
.
(1)求椭圆方程.
(2)已知
为椭圆的左右两个顶点,
为椭圆在第一象限内的一点,
为过点
且垂直
轴的直线,点
为直线
与直线
的交点,点
为以
为直径的圆与直线
的一个交点,求证:
三点共线.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系
中,已知点
,
,
为动点,且直线
与直线
的斜率之积为
.
(1)求动点
的轨迹
的方程;
(2)设过点
的直线
与曲线
相交于不同的两点
,
.若点
在
轴上,且
,求点
的纵坐标的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点C(-1,0)且斜率为
的直线
与椭圆相交于不同的两点
,试问在
轴上是否存在点
,使
是与
无关的常数?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在直角坐标系
中,点
到两点
的距离之和等于4,设点
的轨迹为
,直线
与
交于
两点.
(1)写出
的方程;
(2)若点
在第一象限,证明当
时,恒有
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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