本试题主要是考查了椭圆方程求解以及直线与圆的位置关系的运用,直线与椭圆的位置关系的综合运用。 (1)因为椭圆:的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.根据椭圆的性质和线圆的位置关系得到a,b的值。 (2)由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为,与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理得到参数k,然后借助于判别式得到范围。 (3)设点,则,直线的方程为 令,得,将代入整理,得.得到两根的关系式,结合韦达定理得到定点。 解:⑴由题意知,所以,即,又因为,所以,故椭圆的方程为:.………4分 ⑵由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为 ① 联立消去得:,……..6分 由得,……….7分 又不合题意, 所以直线的斜率的取值范围是或.……….9分 ⑶设点,则,直线的方程为 令,得,将代入整理,得. ②…………….12分 由得①代入②整理,得, 所以直线与轴相交于定点.……….14分 |