若椭圆上存在一点P，使得点P到两焦点的距离之比为，则此椭圆离心率的取值范围是（   ）A．B．C．D．

题型：不详难度：来源：

若椭圆上存在一点P，使得点P到两焦点的距离之比为，则此椭圆离心率的取值范围是（   ）

A．

B．

C．

D．

答案

D

解析

分析：设椭圆上点P到两焦点F₁、F₂距离比为1：2，则PF₁=r，PF₂=2r，可得2a=PF₁+PF₂=3r．再由椭圆上动点P满足|PF₁-PF₂|≤2c，可得a≤6c，最后结合椭圆的离心率满足0＜e＜1，得到该椭圆的离心率e的取值范围．
解答：解：设椭圆的两焦点分别为F₁、F₂，
∵点P到两焦点F₁、F₂距离比为1：2，
∴设PF₁=r，则PF₂=2r，可得2a=PF₁+PF₂=3r，r=a
∵|PF₁-PF₂|=r≤2c，（当P点在F₂F₁延长线上时，取等号）
∴a≤2c，所以椭圆离心率e=≥
又∵椭圆的离心率满足0＜e＜1，
∴该椭圆的离心率e∈[，1)
故答案为D