过椭圆x216+y29=1内的点P(1,2)作两条互相垂直的弦AB,CD,若弦AB,CD的中点分别为M,N,则直线MN恒过定点,定点的坐标为______.
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过椭圆x216+y29=1内的点P(1,2)作两条互相垂直的弦AB,CD,若弦AB,CD的中点分别为M,N,则直线MN恒过定点,定点的坐标为______.
题型:不详
难度:
来源:
过椭圆
x
2
16
+
y
2
9
=1
内的点P(1,2)作两条互相垂直的弦AB,CD,若弦AB,CD的中点分别为M,N,则直线MN恒过定点,定点的坐标为______.
答案
设直线AB的方程为y-2=k(x-1),与椭圆消去y得
(9+16k
2
)x
2
-32k(k-2)x+16(k-2)
2
-144=0
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),AB中点为M(x
M
,y
M
)
∴x
1
+x
2
=
32k(k-2)
9+16
k
2
,可得x
M
=
1
2
(x
1
+x
2
)=
16k(k-2)
9+16
k
2
代入直线AB方程,得y
M
=
-9k+18
9+16
k
2
∴AB中点为M(
16k(k-2)
9+16
k
2
,
-9k+18
9+16
k
2
)
∵直线AB、CD互相垂直,∴用-
1
k
代替k,得CD中点为N(
16+32k
9
k
2
+16
,
9k+18
k
2
9
k
2
+16
)
因此,直线MN方程为
y-
-9k+18
9+16
k
2
9k+18
k
2
9
k
2
+16
-
-9k+18
9+16
k
2
=
x-
16k(k-2)
9+16
k
2
16+32k
9
k
2
+16
-
16k(k-2)
9+16
k
2
取k=1,得直线方程
y-
9
25
=
9
32
(x+
16
25
)
,记为l
1
; 再k=-1,得直线方程
y-
27
25
=
9
32
(x-
48
25
)
,记为l
2
.
∵随着直线AB、CD运动,直线MN恒过定点
∴直线l
1
与l
2
的交点即为MN恒过的定点,联解
y-
9
25
=
9
32
(x+
16
25
)
y-
27
25
=
9
32
(x-
48
25
)
,得
x=
16
25
y=
18
25
因此,直线MN恒过定点(
16
25
,
18
25
)
故答案为:(
16
25
,
18
25
)
举一反三
若方程
x
2
m-1
+
y
2
3-m
=1
表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为______.
题型:不详
难度:
|
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