(Ⅰ)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0)由|OP|=,得x02+y02=,…(1分) 由•=得(-c-x0,-y0)⋅(c-x0,-y0)=,即x02+y02-c2=…(2分) 所以c=,又因为短轴长为2,所以b=1,所以离心率e==,…(4分) 椭圆C的方程为:+y2=1;…(6分) (Ⅱ)解法一:由得A(,),设直线MN的方程为y=kx+m, 联立方程组消去y得:(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0…(7分) 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=…(8分) 所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=.
因为+=λ,λ∈(0,2),所以x1+x2=λ,y1+y2=λ, 得kMN=-,m=λ,于是x1+x2=,x1x2=…(9分) 所以|MN|=|x1-x2|==…(10分) 又因为λ>0,原点O到直线MN的距离为d= 所以S△OMN=|MN|d=⋅S△OMN=|MN|d=⋅=≤, 当m=,即λ=时等号成立,S△OMN的最大值为…(13分) |