已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上总存在点P，使得点P在以F1F2为直径的圆上。（1）求椭圆离心率的取值范围；（2）若AB是椭圆C的任意一条不垂

题型：安徽省模拟题难度：来源：

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，若椭圆上总存在点P，使得点P在以F₁F₂为直径的圆上。
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）若AB是椭圆C的任意一条不垂直x轴的弦，M为弦AB的中点，且满足（其中K_AB，K_OM分别表示直线AB，OM的斜率，O为坐标原点），求满足题意的椭圆C的方程。

答案

解：（1）由题设：设P（x，y）

设椭圆的上顶点为B，若点P在以F₁F₂为直径的圆上，
则可得到∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂，
则只需要满足：，得到m≥2，
离心率满足。
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
将点A，B分别代入椭圆方程并相减可得到，
又，
由题可得m=4，
此时椭圆的方程为。