已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且,P为GE与OF的交点(如图),问是否存在两

已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且,P为GE与OF的交点(如图),问是否存在两

题型:高考真题难度:来源:
已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且,P为GE与OF的交点(如图),问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由。

答案
解:根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P到定点距离的和为定值,
按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a),

由此有E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak),
直线OF的方程为:2ax+(2k-1)y=0, ①
直线GE的方程为:, ②
从①,②消去参数k,得点P(x,y)坐标满足方程
整理得
时,点P的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点;
时,点P轨迹为椭圆的一部分,点P到该椭圆焦点的距离的和为定长;
时,点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值
时,点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a。
举一反三
椭圆的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则=

[     ]

A.
B.
C.
D.4
题型:高考真题难度:| 查看答案
已知F1、F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF2是真正三角形,则这个椭圆的离心率是

[     ]

A.
B.
C.
D.
题型:福建省高考真题难度:| 查看答案
已知椭圆C1(a1>b1>0)和椭圆C2(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2,给出如下四个结论:
①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点;


④a1-a2<b1-b2。其中,所有正确结论的序号是[     ]
A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③
题型:北京期末题难度:| 查看答案
设椭圆(a>b>0)的下、上顶点分别为B1,B2,若点P为椭圆上的一点,且直线PB1,PB2的斜率分别为和-1,则椭圆的离心率为(    )。
题型:模拟题难度:| 查看答案
一个正方形内接于椭圆,并有两边垂直于椭圆长轴且分别经过它的焦点,则椭圆的离心率为

[     ]

A.
B.
C.
D.
题型:专项题难度:| 查看答案
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