直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B。（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C

题型：湖北省高考真题难度：来源：

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B。
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）将直线l的方程代入双曲线C的方程后，整理得
 ①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

解得k的取值范围是。
（2）设A、B两点的坐标分别为、
则由①式得 ②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）
则由FA⊥FB得：，即
整理得 ③
把②式及代入③式化简得
解得或（舍去）
可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。