设双曲线C:与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,(Ⅰ)求双曲线C的离心率e的取值范围:(Ⅱ)设直线l与y轴的交点为P,且,求a的值。
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设双曲线C:与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,(Ⅰ)求双曲线C的离心率e的取值范围:(Ⅱ)设直线l与y轴的交点为P,且,求a的值。
题型:高考真题
难度:
来源:
设双曲线C:
与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B,
(Ⅰ)求双曲线C的离心率e的取值范围:
(Ⅱ)设直线l与y轴的交点为P,且
,求a的值。
答案
解:(Ⅰ)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组
有两个不同的实数解,
消去y并整理得(1-a
2
)x
2
+2a
2
x-2a
2
=0, ①
所以
,解得
,
双曲线的离心率
,
∵
,
∴
,
即离心率e的取值范围是
。
(Ⅱ)设
,
,
∴
,由此得
,
由于x
1
,x
2
都是方程①的根,且1-a
2
≠0,
所以
,
消去x
2
,得
,
由a>0,所以
。
举一反三
直线l:y=kx+1与双曲线C:2x
2
-y
2
=1的右支交于不同的两点A、B。
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由。
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PA
,k
PB
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PA
·k
PB
=
[ ]
A.
B.
C.
D.与P点位置有关
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2
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2
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