已知双曲线C:的离心率为,左顶点为(-1,0)。(1)求双曲线方程;(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B,且线段AB的中点在圆上,求m的值
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已知双曲线C:的离心率为,左顶点为(-1,0)。(1)求双曲线方程;(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B,且线段AB的中点在圆上,求m的值
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线C:
的离心率为
,左顶点为(-1,0)。
(1)求双曲线方程;
(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B,且线段AB的中点在圆
上,求m的值和线段AB的长。
答案
(1)
(2)
解析
试题分析:(1)因为双曲线的离心率为
,所以
,又左顶点为
,所以
,因此可解得
,
,从而求得双曲线的标准方程:
(2)设
,
中点
的坐标为
,则
联立方程组:
消去
得关于
的一元二次方程,在判别式大于零的条件下,由韦达定理可用含参数
的表达式表示
和
,进而表示
和
,由于点
到原点的距离为
,可据此列方程解得
的值;最后根据弦长公式求弦
的长.
试题解析:
(1)依题意
所以
..2分
所以双曲线方程为
..4分
(2)由
得
, .6分
∴
,
又∵中点在直线
上,所以可得中点坐标为(m,2m),
代入
得
.8分
|AB|=
。 12分
举一反三
已知双曲线
=1(
a
>0,
b
>0)的左、右焦点分别为
F
1
,
F
2
,点
O
为双曲线的中心,点
P
在双曲线右支上,△
PF
1
F
2
内切圆的圆心为
Q
,圆
Q
与
x
轴相切于点
A
,过
F
2
作直线
PQ
的垂线,垂足为
B
,则下列结论成立的是( )
A.|
OA
|>|
OB
|
B.|
OA
|<|
OB
|
C.|
OA
|=|
OB
|
D.|
OA
|与|
OB
|大小关系不确定
题型:不详
难度:
|
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已知
F
1
,
F
2
是双曲线
-
y
2
=1的两个焦点,点
P
在此双曲线上,
·
=0,如果点
P
到
x
轴的距离等于
,那么该双曲线的离心率等于________.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
=1(
a
>0,
b
>0)的离心率为
,则双曲线的渐近线方程为( )
A.
y
=±
x
B.
y
=±
x
C.
y
=±2
x
D.
y
=±
x
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
=1(
a
>0,
b
>0)的一个焦点与抛物线
y
2
=4
x
的焦点重合,且双曲线的离心率等于
,则该双曲线的方程为( )
A.
x
2
-
=1
B.
x
2
-
y
2
=15
C.
-
y
2
=1
D.
-
=1
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线
y
2
=2
px
(
p
>0)与双曲线
=1(
a
>0,
b
>0)的一条渐近线交于一点
M
(1,
m
),点
M
到抛物线焦点的距离为3,则双曲线的离心率等于( )
A.3
B.4
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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