如图,双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.又已知该双曲线的离心率.(1

如图,双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.又已知该双曲线的离心率.(1

题型:不详难度:来源:
如图,双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.又已知该双曲线的离心率

(1)求证:依次成等差数列;
(2)若F(,0),求直线AB在双曲线上所截得的弦CD的长度.
答案
解:(1)由已知e2=,即,故a2=c2,        ①
从而b2=c2-a2=c2,                        ②
,设∠AOF=∠BOF=
故tan∠AOB=tan2,即
=3m(m>0) ,则=4m,=5m,满足=2
所以,依次成等差数列.
(2)由已知c2=5,代入①,②得a2=4, b2=1,
于是双曲线的方程为
设直线AB的斜率为k,则k=tan∠BFx=tan∠AFO=cot=2.
于是直线AB的议程为 y=2(x-).…………………………………………9分
联立消y得15x2-x+84=0.
故弦CD的长度 | CD |=×…13分 
解析

举一反三
在平面直角坐标系xOy中,已知A、B分别是双曲线的左、右焦点,△ABC 的顶点
C在双曲线的右支上,则的值是  ▲ 
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.已知双曲线的焦点轴上,A为双曲线上一点, 轴, ,则双曲线的离心率为(  )
A. B.C.D.2

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方程所表示的轨迹是焦点在( )
A.轴上的椭圆B.轴上的椭圆
C.轴上的双曲线D.轴上的双曲线

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以双曲线两焦点为直径的端点的圆交双曲线于四个不同点,顺次连接这四个点和两个焦点,恰好围成一个正六边形,那么这个双曲线的离心率等于
A.B.C.D.

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已知双曲线,则以双曲线中心为顶点,以双曲线准线为准线的抛物线方程为.
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