某同学在研究函数f(x)=x2ex的性质时,得到如下的结论:①f(x)的单调递减区间是(-2,0);②f(x)无最小值,无最大值③f(x)的图象与它在(0,0)
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某同学在研究函数f(x)=x2ex的性质时,得到如下的结论: ①f(x)的单调递减区间是(-2,0); ②f(x)无最小值,无最大值 ③f(x)的图象与它在(0,0)处切线有两个交点 ④f(x)的图象与直线x-y+2012=0有两个交点 其中正确结论的序号是______. |
答案
求导函数,可得f′(x)=x2ex=(2x+x2)ex, ①令f′(x)<0,可得2x+x2<0,∴-2<x<0,∴f(x)的单调递减区间是(-2,0),即①正确; ②令f′(x)>0,可得2x+x2>0,∴x<-2或x>0,∴f(x)的单调递增区间是(-∞,-2),(0,+∞),∴函数在x=-2处取得极大值,且为最大值;在x=0处取得极小值,且为最小值,即②不正确; ③f′(0)=0,f(0)=0,则函数在(0,0)处切线方程为y=0,∵f(x)=x2ex>0,∴f(x)的图象与它在(0,0)处切线有一个交点(0,0),即③不正确; ④由②及f(x)=x2ex>0,即可得到f(x)的图象与直线x-y+2012=0有两个交点,即④正确, 综上可知,正确结论的序号是①④ 故答案为:①④ |
举一反三
已知函数g(x)=px--2lnx (1)g(x)在其定义域内的单调函数,求p的取值范围; (2)求证:lnx≤x-1(x>0) (3)求证:++…+<[(n-1)-(++…)](n∈N*,n≥2) |
已知函数f(x)=ax-1n(1+x2) (1)当a=时,求函数f(x)在(0,+∞)上的极值; (2)证明:当x>0时,1n(1+x2)<x; (3)证明:(1+)(1+)…(1+)<e(n∈N*,n≥2,其中e为自然对数的底数) |
设f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=-2ax+4x3. (Ⅰ) 若f(x)在(0,1]上为增函数,求a的取值范围; (Ⅱ) 是否存在正整数a,使f(x)的图象的最高点落在直线y=12上?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. |
已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R). (1)求函数f (x)的单调区间; (2)求证:x>1时,x2+lnx<x3. |
(理)已知函数f(x)=x-ax2-ln(1+x),其中a∈R. (Ⅰ)若x=2是f(x)的极值点,求a的值; (Ⅱ)求f(x)的单调区间; (Ⅲ)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0,求a的取值范围. |
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