(理科)解:(1)设,则由题意有: ∴,, 故双曲线的方程为, ……………4分 (2)解法一:由(1)得点为 当直线l的斜率存在时,设直线方程,, 将方程与双曲线方程联立消去得:, ∴ 解得 ……………6分 假设双曲线上存在定点,使恒成立,设为 则:
∵,∴, 故得:对任意的恒成立, ∴,解得 ∴当点为时,恒成立; ……………10分 当直线l的斜率不存在时,由,知点使得也成立. 又因为点是双曲线的左顶点, ……………12分 所以双曲线上存在定点,使恒成立. ……………13分 解法二(略解):当直线l的斜率不存在时,由,,,且点在双曲线上可求得, 当直线l的斜率存在时,将,,代入,经计算发现对任意的恒成立,从而恒有成立. 因而双曲线上存在定点,使恒成立. |